1998 Fiscal Year Annual Research Report
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10440056
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 助教授 (20193493)
岡田 正巳 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (00152314)
会田 茂樹 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (90222455)
内田 興二 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (20004294)
麻生 透 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (00111352)
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| Keywords | 離散ラプラシアン / 第1固有値 / ディリクレ問題 / バルタの定理 / ファーベル・クラーンの定理 / 調和射影 / グラフ / グリーン核 |
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| Research Abstract |
平成10年度においては、次のような成果を得た。
(1) リーマン多様体内の有界領域のデリィクレ問題の第1固有値の最もシャープな評価を与える定理として、バルタの定理が知られている。この研究では、このバルタの定理がグラフの場合にどうなるかを調べ、やはり同様の定理がグラフでも成り立つことを示し、離散的バルタの定理を与えた。この応用として、グラフの離散ラプラシアンの距離球の第1固有値のベストな評価を与える公式を得た。さらにこの公式の応用として、無限グラフのスペクトルの下限の評価や任意の有限グラフの第i固有値の上限を評価する公式が得られることを示した。
(2) ユークリッド空間内の有界領域の第1固有値については、ファーベル・クラーンの定理が知られている。これは同じ体積をもつ有界領域の中で、円の第1固有値がもっとも小さくなり、かつそのときに限る、というものである。この定理を離散化してグラフの場合に考察した。すなわち、境界付き有限グラフの第1固有値を考える。これについて、辺の個数がm個の境界付き有限グラフを考えると、これらのうちで、境界点が1点でただ1つの境界辺もつ線状グラフL_mの第1固有値が最も小さくなり、かつそのときに限ることを示した。
(3) リーマン多様体の間の調和射影(harmonic morphism)は、調和写像の例を広範に与えるものとして、重要な概念であることが知られている。本研究では、調和射影のグラフ版を考え、同様の概念を提示した。さらに任意の二つのグラフの間の写像がいつ調和射影になるか、その必要十分条件を与え、この判定条件を使ってたくさんの調和射影の例を構成した。さらに、このような調和射影の位相とラプラシアンについて解析し、調和射影のドメイン・グラフとターゲット・グラフについて、それらの成り立つベッチ数の関係式、及びグリーン核の関係式を得た。この応用として、グリーン核のシャープな評価を得た。
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[Publications] H.Urakawa: "Eigenvalue pinching theorems on compact symmetric spaces" Proceedings of American Mathematical Society. 126. 3065-3069 (1998)
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[Publications] H.Urakawa: "Open problems in affine differential geometry and related topics" Interdisciplinary Information Sciences. 4. 125-127 (1998)
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[Publications] H.Urakawa: "Eigenvalue comparison theorems of the discrete Laplacians for a graph" Geometriae Dedicata. 74. 95-112 (1999)
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[Publications] H.Urakawa: "The first eigenvalue of the discrete Dirichlet problem for a graph" J.Combinatorial Mathematics & Combinatorial Computing. (印刷中). (1999)
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[Publications] H.Urakawa: "On invariant projectively flat affine connections" Hokkaido Mathematical J.(印刷中). (1999)
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[Publications] H.Urakawa: "On a discrete analogue of harmonic morphisms" Harmonic Morphisms,Harmonic Maps and Related Topics. (印刷中). (1999)
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[Publications] 浦川肇: "解析入門-級数/複素関数/ベクトル解析-" 裳華房, 152 (1998)
