| Research Abstract |
正標数の代数的閉体k上の非特異完備代数曲面とし,O_XをXの構造層,W_i((O_X))を長さiのヴィットベクトルの層とする.XがK3曲面または,アーベル曲面とし,Φ_XをXの形式的Brauer群,hをΦ_Xの高さとする.よく知られているようにXがK3曲面の場合には1【less than or equal】h【less than or equal】10またはh=∞,Xがアーベル曲面の場合にはh=1,2,または∞である.Z_1をd閉1形式としCをZ_1で定義されたCartier作用素とする.層Z_iをKer dC^<i-1>として帰納的に定義する.B_1=dO_Xとおき,層B_iをC^<-1>(B_<i-1>)によって帰納的に定義する.昨年度は,K3曲面の場合に,形式的Brauer群の高さによるモジュライのストラティフィケーションを調べたが,今年度はアーベル曲面の場合に下記のような結果を得た.
Mを主偏極アーベル曲面のモジュライスタックのなめらかなトロイダルコンパクト化,π:X→Mをその普遍族とする.v=π_*Ω^2_<X/M>とおけば,これはMのChow群の元を与える.自然数h(1【less than or equal】h【less than or equal】10)に対し,M^<(h)>={X∈M|heightΦ_X【greater than or equal】h}とおく.このとき,M=M^<(1)>⊃M^<(2)>⊃M^<(∞)>となる.また,H^2(X,W_<h-1>(Ox))上のFrobenius写像Fが消えるようなMの跡をM^^<(〜)>M^<(h)>とする.M^<(h)>のサポートとM^^<(〜)>M^<(h)>のサポートは一致する.
定理.(X,D)を主偏極アーベル曲面,x∈Mを(X,D)に対応する点とする.Φ_Xの高さh<∞と仮定する.このとき,dimH^1(X,B_h)=h-1,dim H^1(X,Z_h)=4,Im H^1(X,Z_h)=5-hが成立する.ここに,Im H^1(X,Z_h)は自然な単射Z_h→Ω<1/X>から誘導された準同型写像H^1(X,Zh)→H^1(X,Ω<1/X>の像である.このとき,M^<(h)>のxにおける接空間は{Im H^1(X,Z_h)}∩D^⊥⊂H^1(X,Ω<1/X>)と同型である.とくに,M^<(h)>の次元は,dim M^<(h)>=4-hとなる.Chow群CH<h/Q-1>(M)におけるM^<(h)>の類は(p^<h-1>-1)(p^<h-2>-1)...(p-1)vで与えられる.また,h=∞のときは,Chow群において,M^^<(〜)>M^<(h)>=2M^<(h)>となる.
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