代数幾何学と符号理論の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640006
• Research Institution: University of Tokyo
• Principal Investigator: 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 加藤 晃史 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10211848) ; 河野 俊丈 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80144111) ; 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037) ; 寺田 至 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70180081) ; 寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50192654)
• Keywords: K3曲面 / モジュライ空間 / 形式的ブラウワー群 / カルチェ作用素 / チャーン類 / アルチン不変量 / ピカール数 / チャウ群

Research Abstract

正標数のK3曲面のモジュライ空間の構造の研究を主に行った.Xを正標数の代数的閉体k上のK3曲面とし,Φ_xをXの形式的Brauer群,hをΦ_xの高さとする.Mを次数2d(p〓2d)の偏極K3曲面のモジュライスタック,π:x→MをK3曲面の普遍族とする.υ=π_*Ω^2_<X/M>とおけば,これはMのChow群CH^<h-1>_Q(M)の元を与える.自然数h(1【less than or equal】h【less than or equal】10)またはh=∞となる跡に対し,M^<(h)>={X∈M|height Φ_X【greater than or equal】h}とおく.Xの第二Betti数B_2,Picard数をρとする.このとき,B_2=ρの跡はh=∞となる跡に含まれる.そこで,M_<(σ)>={X∈M|B_2=ρ,detNS(X)=-p^<2l>,l【less than or equal】σ}とおけば,M=M^<(1)>⊃M^<(2)>⊃…⊃M^<(10)>⊃M_<(10)>⊃…⊃M_<(1)>をうる.昨年度までの研究によって,M^<(h)>のxにおける接空間は{ImH^1(X,Z_h)}∩D^⊥⊂H^1(X,Ω^1_X)と同型になることが示せた.とくに,M^<(h)>の次元は,dimM^<(h)>=20-hとなる.また,Chow群CH^<h-1>_Q(M)におけるM^<(h)>の類は(p^<h-1>-1)(p^<h-2>-1)…(p-1)υで与えられることがわかる.本年度は同様の研究をM_<(σ)>の部分に対しておこなった.Shafarevichの研究と関係して,Artin不変量σが3以下の部分についてはFermat曲面との関係を具体的に明らかにすることができた。また,Artin不変量がσ以下の部分のなすサイクルのChern類を計算することも興味のある問題であり,現在,Pragaczの方法を用いて研究が進んでいる.アーベル曲面に対しては同様の結果がすでに得られており,Calabi-Yau多様体,超曲面の場合にも現在研究が進行中である.

Research Products

• [Publications] G.vander Geer & T.Katsura: "On a stratification of the moduli of K3 surfaces"J.Eur.Math.Soc.. 2. 259-290 (2000)
• [Publications] T.Katsura: "Formal Brauer groups and moduli spaces of K3 and abelian surfaces in positive characteristic"Proc.of Conf. on Algebraic Geometry, Number Theory, Coding Theory and Cryptography. 107-112 (2001)
• [Publications] Y.Kawamata: "On effective non-vanishing and base-point-freeness"Asian J.Math.. 4. 173-182 (2000)
• [Publications] T.Terasoma: "Convolution theorem for non-degenerate maps and composite singularities"J.Alg.Geom.. 9. 265-287 (2000)
• [Publications] 桂利行: "デジタルの数学"数学のたのしみ21(日本評論社). 54-65 (2000)
• [Publications] 桂利行: "代数幾何学(「数学がわかる」)"アエラモック61(朝日新聞社). 22-25 (2000)