テンソル圏に対する新しい双対定理と位相的場の量子論の同値性

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640019
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 林 孝宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60208618)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016) ; 中西 知樹 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (80227842) ; 土屋 昭博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (90022673) ; 太田 啓史 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50223839)
• Keywords: 量子群 / テンソル圏 / 淡中双対性 / Littlewood-Richardson 則 / 逆行列

Research Abstract

研究課題にある新しい双対定理とは、各有限分裂半単純テンソル圏Cに対し、余加群の圏がCに同値になるような面代数(量子群)を自然に対応させる標準淡中双対性と呼ばれるもののことである。標準淡中双対性はもともと、群やホップ代数の表現論からは得られない様な半単純テンソル圏に群論的意味付けを与えることを目的として考えられたものであったが、その後の研究により、群の表現の圏についても標準淡中双対性により、新しい知見を与えうるということが新たにあきらかになってきている。すなわち、既に得られていた、6j-シンボルをABF模型と呼ばれる面型格子模型のボルツマンウェイトにより表示する公式に引続き、一般線形群GL(N,C)の二つの有限次元既約表現のテンソル積表現の既約分解を表現空間のレベルで具体的に記述する「Littlewood-Richardson基底」を構成することができた。これは、GL(N,C)の表現論と、その標準淡中双対の表現論との間のアナロジーを追うことにより得られたものであり、少なくとも考え方としては新しいものであると思う。さらに、同様な方法により、A型のWZW模型の融合則に対し、Littlewood-Richardson則の類似物をあたえることが本年度の大きな目標であっなが、これについては部分的な成果はいくつか得られたものの、決定的な結果を得るには至らなかった。
なお、本年度は、量子群論の他の応用として、行列群が与えられているとき、その各元に対して適用可能であるような通常より効率の良い逆行列の公式が存在するか?という問題を考察した。その結果として、ある条件の下で、逆行列をClebsh-Gordan係数と表現グラフ上のパスというものを用いて具体的に表示する公式を得た。また、同時に群の定義方程式自体も同様のデータにより表すことが出来ることも示した。

Research Products

• [Publications] Takahiro Hayashi: "Face algebras and unitarity of SU(N)c-TQFT"Communications in Mathematical Physics. 203. 211-247 (1999)
• [Publications] Takahiro Hayashi: "Galois quantum groups of II_1-subfactors"Tohoku Mathematical Journal . 51. 365-389 (1999)
• [Publications] Takahiro Hayashi: "Coribbon Hopf (face) algebras generated by lattice models"Journal of Algebra. 233. 614-641 (2000)
• [Publications] Takahiro Hayashi: "A brief introduction to face algebras"Contemporary mathematics. 267. 161-176 (2000)