代数学に現れるautomaton構造の解明

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640030
• Research Institution: Naruto University of Education
• Principal Investigator: 小林 滋 鳴門教育大学, 学校教育学部, 助教授 (10195779)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 石川 恒男 大阪工業大学, 工学部, 助教授 (40268230) ; 湯谷 洋 鳴門教育大学, 学校教育学部, 講師 (80200872) ; 丸林 英俊 鳴門教育大学, 学校教育学部, 教授 (00034702)
• Keywords: 有理半群 / automaton / ワイル代数 / 局所コホモロジー / トーション理論 / 連分数展開 / モデル理論 / stability theory

Research Abstract

「代数学に現れるautomaton構造の解明」を研究目的とし次の研究を行った。
(1) 半群におけるautomaton構造
半群の中で有理半群と呼ばれる、演算にautomaton構造を持つものがある。有理半群は有限生成でGreenの同値関係に中でD=Jを満たす。我々は逆半群のなかで有理性を満たすものを調べた。その結果、3つのタイプに分けその構造を知ることができた。この結果の論文はは現在投稿中である。
(2) 環論におけるautomaton構造
ワイル代数上の局所コホモロジーを計算する過程において、グレブナー基底を用いて計算することができることを知り、トーション理論と合わせて計算の方法を改良することの研究を行った。この研究は現在も進行中であり、近い将来に結果を得るつもりである。
(3) 数論におけるautomaton構造
実数を連分数展開することで得られる整数列に対し、2次体の理論の高次元化を試みた。具体的には与えられた代数体Kに対して、集合K^2を考え、そこに2次体の理論を当てはめることが可能であることを示した。また部分終結式列に関する定理をautomaticに見ることで多項式の共通解を表す式を見つけ出した。これらの結果については現在論文を作成中である。
(4) 論理代数におけるautomaton構造
モデル理論を研究することで第1階の述語論理の記述方法を得て、数学の理論をモデル化することを試みた。これによって代数幾何の問題に対して論理代数的なアプローチが可能になった。さらにはE.HrushovskiによるLang予想の解決に用いられたstability理論を用いた方法も開発中である。この研究は現在も進行中であり、近い将来に結果を得るつもりである。

Research Products

• [Publications] 小林滋: "Algebraic Prperties of Polynomial Iterations" Math.Japonica. 48. 201-204 (1998)
• [Publications] 小林滋: "The submanifolds of self-dual codes in a Grassmann manifolds" 数理解析研究所講究録. 1063. 163-169 (1998)
• [Publications] 脳田伸彦: "生きる力を育てる算数授業の創造(提言編)" ニチブン, 256 (1999)