代数学に現れるautomaton構造の解明

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640030
• Research Institution: Naruto University of Education
• Principal Investigator: 小林 滋 鳴門教育大学, 学校教育学部, 助教授 (10195779)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 石川 恒男 大阪工業大学, 工学部, 助教授 (40268230) ; 湯谷 洋 鳴門教育大学, 学校教育学部, 講師 (80200872) ; 丸林 英俊 鳴門教育大学, 学校教育学部, 教授 (00034702)
• Keywords: 有理半群 / automaton / ワイル代数 / 局所コホモロジー群 / トーション理論 / 附置環 / モデル理論 / 述語論理

Research Abstract

「代数学に現れるautomaton構造の解明」を研究目的とし次の研究を行った。
(1)半群におけるautomaton構造
半群の中で有理半群と呼ばれる、演算にautomaton構造を持つものがある。有理半群は有限生成でGreenの同値関係の中でD=Jを満たす。我々は逆半群の中で有理性を満たすものを調べた。その結果、3つのタイプに分けその構造を解明することができた。
(2)環論におけるautomaton構造
ワイル代数上の局所コホモロジー群を計算する過程において、グレブナー基底を用いて計算することができることを知り、トーション理論と合わせて計算の方法を改良する研究を行った。また代数関数体の中に現れる附置環の構造を、局所化の方法と剰余超越性の概念を用いて、解明することができた。
(3)数論におけるautomaton構造
実数を連分数展開することで得られる整数列に対し、2次体の理論の高次元化を試みた。具体的には与えられた代数体Kに対して、K^2を考え、そこに2次体の理論を当てはめることが可能であることを示した。また部分集結式に関する定理をautomaticに見ることで多項式の共通解を表す式を見つけだした。さらにこの結果をHurwitz方程式の基本解を見つける方法に応用することができた。
(4)論理代数におけるautomaton構造
モデル理論を研究することで第1階の述語論理の記述方法を得て、数学の理論をモデル化することを試みた。これにより代数幾何の問題に対して論理代数的なアプローチが可能になった。この研究は現在も進行中であり、近い将来に結果を得るつもりである。

Research Products

• [Publications] 小林 滋: "On rings whose faithful modules, which is generated at most two elements, are generator"Mathematica Japonica. 52・2. 263-265 (2000)
• [Publications] 小林 滋: "L-classes of inverse semigroups"Applied Mathematics E-notes. 1. 111-117 (2001)
• [Publications] 小林 滋: "On the subresultant chain in view of pseudodivision"JP journal of algebra and number theory. 1. 23 (2002)
• [Publications] 小林 滋: "Total valuation rings of K(X,σ) containing K"Communication of algebras. 14