葉層構造への微分幾何学的アプローチ

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640055
• Research Institution: Iwate University
• Principal Investigator: 押切 源一 岩手大学, 教育学部, 教授 (70133931)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 沼田 稔 岩手大学, 教育学部, 教授 (50028255) ; 中嶋 文雄 岩手大学, 教育学部, 教授 (20004484) ; 小嶋 久祉 岩手大学, 教育学部, 教授 (90146118) ; 宮井 秋男 岩手大学, 教育学部, 助手 (70003960) ; 川田 浩一 岩手大学, 教育学部, 助教授 (70271830)
• Keywords: 葉層構造 / 極小葉層 / 全測地的葉層 / Bernstein問題 / 極小グラフ / 定平均曲率葉層 / 葉の成長度

Research Abstract

リッチ曲率が非負のコンパクトな多様体上の余次元1極小葉層が全測地的になることを,以前に示した.Bernsteinの問題の反例から,「コンパクト」を「完備」に変えるとこの結果は一般には成り立たない.そこで,葉の成長度に制限を与えると,葉の成長度が2以下の場合は全測地的になることが示せた.葉の成長度が7以下までは全測地的になると予想されるが,現在,解決には至っていない,上述の結果を証明した議論により,葉の成長度が多項式的なら,葉の第2基本形式のノルムの2乗の積分のオーダーが,葉の成長度よりオーダーが少なくとも2は低いことがわかった.このことから,Mirandaがユークリッド空間の極小グラフに対して得た,第2基本形式のノルムの2乗の積分についての評価の別証を得ることが出来た.また,ユークリッド空間の余次元1極小葉層に対しても,Mirandaの結果に対応する評価を得ることが出来た.ただ,現在でも,ユークリッド空間の一般の余次元1極小葉層の葉の成長度がどの程度かは知られていないので,上述の「葉の成長度が7以下までは全測地的?」とあわせて,今後の課題であると思われる.更に,同様のテクニックで,,Alencarとdo Carmoが,多項式の成長度をもつ弱安定な定平均曲率超曲面に対して得ていた結果を,葉層の場合にどのようになるか調べ,より簡単な証明得ることが出来た.また,Meeksが以前示した,3次元ユークリッド空間の余次元1定平均曲率葉層は全測地的になる,という結果の証明をかなり簡略化することが出来た.以上の結果は,現在,投稿中である.最後に,今年度は,余次元2以上の葉層の平均曲率1-形式については,残念ながら殆ど進展が無かったことを付け加えておく.

Research Products

• [Publications] G,Oshikiri: "Some differential geometric properties of codimension-one foliations of polynomial growth."Tohoku Math.J.. (発表予定).
• [Publications] G,Oshikiri: "On transverse Killing fields of metric foliations of manifolds with positive curvature."mannscripta math.. (発表予定).
• [Publications] H,Kojima: "On the Fourier coefficients of Maas wave forms of half integral weight over an imaginary quadratic field."J.reine angew.Math.. 526. 155-179 (2000)
• [Publications] H,Kojima: "On the Trace of the representation of SL (2,[Z]/N[Z]) in the space of modular forms of half integral weight"I.I.S. (発表予定).
• [Publications] K,Kawada and T.Wooley: "On the Waring-Goldbach problem for fowrthand fifth power."Proc.London Math.Soc.(3). 82(発表予定). (2001)
• [Publications] A,Miyai: "An explicit formula for the square of the Riemann Zeta-function on the cutical line."Tsukuba J.Math.. (発表予定).
• [Publications] H.Kojima: "On Fourier coefficients of Maass wave forms of half integral weight belonging to Kohnen's spaces."Tsukuba J.Math.. 23. 333-351 (1999)
• [Publications] H.Kojima: "On the Fourier coefficients of Maass wave forms of half integral weight over an imaginary quadratic field."J.reice angew.Math.. 526. 155-179 (2000)
• [Publications] F.Nakajima: "Bifurcation of nonsymmetric solution for some Duffing equations."Bull.Aushal.Math.Soc.. 60. 119-128 (1999)
• [Publications] K.Kawada: "A zero density estimate for Dedekind zeta functions of pure extension fields."Tsukuba J.Math.. 22. 357-369 (1998)
• [Publications] K.Kawada: "Sums of fifth powers and related topics."Acta Arith.. 87. 27-65 (1998)
• [Publications] K.Kawaola: "Sums of fourth powers and related tapics."J.Reinc Angew,Math.. 512. 173-223 (1999)
• [Publications] K.Kawada: "On the Waring-Goldbach problem for fourth and fifth powers."Proc.London Math.Soc (3). 82(発表予定). (2001)
• [Publications] A.Miyai.: "An explicit formula for the square of the Riemann zeta-function on the critical line."Tsukuba J.Math. (発表予定).
• [Publications] A.Miyai: "On the two expressions of the explicit formula for the square of the Riemann zeta-function."Ann.Rep.Fac.Edu.Jwate Univ.. (発表予定).