群論的側面から見たホモトピー論

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640064
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 丸山 研一 千葉大学, 教育学部, 助教授 (70173961)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 築山 耕三 島根大学, 教育学部, 教授 (20093651) ; 山内 憲一 千葉大学, 教育学部, 助教授 (20009690) ; 越川 浩明 千葉大学, 教育学部, 教授 (60000866)
• Keywords: 代数的位相幾何学 / ホモトピー論 / 冪零群 / 代数群

Research Abstract

1.空間の自己ホモトピー同値類群
有理ホップ空間において自己ホモトピー同値類群のなかでホモトピー群に恒等写像を誘導する元に代表される部分群について、この部分群をその有限位数部分群で割った商群について考察した。その結果、空間のジーナス上での不変性が成立することが分かった。これらの結果は1999年9月にイタリアで開催された研究集会において発表された。
2.ホモトピー群に付随した安定性を持つ部分群の列についての研究
以前にホモトピー同値の群の有限表示可能性を調べる過程で、代数群の理論を使ったが、本研究の課程で、違った角度からこの手法が利用できることに気付いた。すなわちある部分群の射影系についてミッターグレッフラー条件と呼ばれるものが成立することの証明に代数幾何学的な方法が利用できることがわかった。その後、空間をホップ空間とよばれる位相群を一般化した空間類について考えてみると、ミッターグレッフラー条件がホモトピー集合の上のホモトピーに付随した下降列、また、自己ホモトピー同値類群のなかでホモトピー群に付随した下降列について成立しているこ事も同時に証明できた。結果は論文としてまとめ、出版準備中である。
3.具体例での研究
上記項目を具体的な例で調べた。この目的のために、リー群などの位相的な性質のよく分かっている空間を利用することにしたが、たとえ低いランクのリー群に限っても、たとえば項目2で述べた事柄を確認することは相当な困難を伴うことが判明してきた。その過程で球面のホモトピー群の決定が是非とも必要となってきたので、特に3成分についての計算を実行し、結果を得た。
4.研分担者の成果
本研究は、代表者以外に3人の研究分担者の協力のもとに推進された。研究分担者はそれぞれの研究において大きな成果を得た。

Research Products

• [Publications] 丸山研一: "A subgroup of self-homotopy equivalences which satisfies the M-L condition."Bull.of The Faculty of Education, Chiba University. 48. 1-5 (2000)
• [Publications] 丸山研一(第一著者:M.Arkowitz): "Self-equivalences which induce the identity map on homology, cohomology or homotopy groups"Topology and its applications. 87. 133-154 (1998)
• [Publications] 丸山研一: "A subgroup of self homotopy equivalences which is invariant on genus."Contemporary Mathematics AMS (発表予定.
• [Publications] 越川浩明: "A homomorphism between an equivariant SK ring and the Burnside ring for Z4"Hokkaido Mathematical Journal. 28. 461-474 (1999)
• [Publications] 築山耕三: "Equivariant homotopy equivalences and a forgetful map."Bull.Of Korean Math.Journal. 36. 649-654 (1999)
• [Publications] 山内憲一: "Another proof of a Theorem of J.A.Green."Journal of Algebra. 235. 829-832 (2001)