リーマン多様体の等長埋め込み

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640079
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 阿賀岡 芳夫 広島大学, 総合科学部, 助教授 (50192894)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中山 裕道 広島大学, 総合科学部, 助教授 (30227970) ; 吉田 敏男 広島大学, 総合科学部, 教授 (10033854)
• Keywords: 等長埋め込み / 対称空間 / ガウス方程式 / plethysm / 外積代数

Research Abstract

本研究の最終年度である今年度は、過去2年の間に得られた結果を論文にまとめる作業を行うとともに、リーマン多様体の等長埋め込みに関して次の結果を新たに得た。
1.2次元4元数射影空間(実8次元の多様体)は14次元のユークリッド空間に等長に埋め込めることが知られていたが、この埋め込みが局所的にみても最小次元の等長埋め込みを与えていること示した。この結果は、以前対称空間Sp(m)/U(m),Sp(m)について同様の結果を得たときに利用した不変量をより詳しく調べることにより得られる。グラスマン多様体の系列の中で最良の結果が得られたのは(球面を除くと)これが最初の例になる。
2.前年度の研究で、Gauss方程式と表現論に表れるplethysmという一種の合成積の分解公式との関係について明らかにした。今年度は更にこの点について詳しく調べ、具体的には{11}【cross product】{λ}というplethysmの分解公式がわかれば等長埋め込みのobstructionを求める1つの手段が得られることを明らかにした。残念ながら本研究期間中には、この分解公式を具体的な形で得るまでには至れなかったが、他のいくつかのplethysmについては分解公式を新たに得ることができた。({m}【cross product】{3}等。またこれらのplethysmに表れる既約成分の個数を表す公式を求めることもできた。)このときの方法を更に展開すれば上記の{11}【cross product】{λ}の分解公式を求めることが可能なように思われ、今後この点からの研究を続けてゆく予定でいる。

Research Products

• [Publications] Y.Agaoka: "Left invariant Poisson structures on classical non-compact simple Lie groups"Israel Journal of Mathematics . 116. 189-222 (2000)
• [Publications] Y.Agaoka: "On the Gauss equation in the exterior algebra"Mem.Fac.Integrated Arts & Sci.Hiroshima Univ.Ser IV. 26. 95-108 (2000)
• [Publications] Y.Agaoka,B.H.Kim,S.D.Lee: "Conharmonically flat fibred Riemannian space"Mem.Fac.Integrated Arts & Sci.Hiroshima Univ.Ser IV. 26. 109-115 (2000)
• [Publications] Y.Agaoka: "Uniqueness of left invariant symplectic structures on the affine Lie group"Proceedings of Amer.Math.Soc.(published online). 1-10 (2001)
• [Publications] Y.Agaoka,E.Kaneda: "Strongly orthogonal subsets in root systems"to appear in Hokkaido Math.Journal.
• [Publications] T.Kobayashi,H.Maki,T.Yoshida: "Extendibility and stable extendibility of the power of the normal bundle associated to an immersion of the lens space mod 4"Mem.Fac.Sci.Kochi Univ.(Math.). 22. 45-57 (2001)