結び目のDehn手術でいつSeifert多様体ができるか

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640091
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 宮崎 桂 東京電機大学, 工学部, 助教授 (60256633)
• Keywords: 結び目 / 3次元多様体 / Dehn Surgery / Seifert

Research Abstract

Seifert多様体を特徴づける量に特異ファイバーの本数と,その指数がある.平成10年度は,結び目のDehn手術で得られるSeifert多様体の特異ファイバーの本数と指数について次の結果を得た.
1. 特異ファイバーの指数について.
もっとも重要な結び目のタイプである双曲結び目については,そこからできるSeifert多様体の特異ファイバーの本数は3本以下と予想されている(下記の2を参照).その3本の特異ファイバーの指数は,最大公約数が1でなくてはならないことはホモロジー群の計算でわかる.そこで実際に実現できる指数が問題になるが,今回次の結果が得られた.「p,q,rをどれか2つが互いに素となる任意の整数とする.このときある双曲型結び目のDehn手術により,p,q,rを指数とするようなSeifert多様体が得られる.」この結果は1996年にJohn Deanが得た結果の改良となっている.今後は,6,10,15のように最大公約数は1だがどの2つも互いに素ではない任意の整数が指数として実現できるかを考えたい.
2. 特異ファイバーの本数について.
以前の研究により,周期性のある結び目のうち周期が3以上の双曲結び目からはSeifert多様体が得られないことがわかっている.一方,周期が2の結び目からSeirert多様体が得られる例もみつかっている.そこで,周期2の結び目から得られるSeifert多様体の特異ファイバーの本数を研究した.本数は3本以下と予想し証明にとりかかっているが,まだ完成していない.細かいところの論証が残っているが,平成11年度中には証明できる見通しである.

Research Products

• [Publications] 宮崎桂: "Seifert fibered manifolds and Dehn surgery II" Math.Ann.311. 647-664 (1998)
• [Publications] 宮崎桂: "Bandsums are ribbon concordant to the connected sum" Proc.Amer.Math.Soc.126. 3401-3406 (1998)
• [Publications] 宮崎桂: "Seifert fibered manifolds and Dehn surgery III" Com.Anal.Geom. (掲載予定).
• [Publications] 宮崎桂: "Toroidal and annular Dehn surgeries of solid tori" Topology and its appl.(掲載予定).
• [Publications] 宮崎桂: "Toroidal surgery on periodic knots" Pacific J.Math.(掲載予定).