高い対称性を持つ2次元確率場の繰り込みと多重ウィーナー積分

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640122
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 岩田 耕一郎 広島大学, 理学部, 助教授 (20241292)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中村 宗敬 山梨大学, 教育人間科学部, 助教授 (10227944) ; 久保 泉 広島大学, 理学部, 教授 (70022621)
• Keywords: 確率場 / 保型形式 / コーシーリーマン方程式 / 多重ウィーナー積分

Research Abstract

研究対象とする等角不変確率場は非同次コーシーリーマン方程式の解として定まるものである。2次元トーラス上の等角構造を上半平面でパラメータ付けする際のモデュラー群の作用がモデュラー共変性という高い対称性も引き起こしている。解のモデュラー共変性が多重相関関数を有理点で評価したものの保型性を導く。いくつかの具体例においてそれらが実際に保型形式であることが確かめられている。10年度までの研究で、楕円関数を用いた解の表示から、保型性を壊さずに高次の重みを持つ汎関数renormalized productが自然に構成され、表現できる保型形式のクラスを広げることができることが解明されつつある。これは、場の量子論において、2次元空間ではwick積で記述される汎関数が豊富に存在することとの関連を示唆している。そこには、グリーン関数の対数関数的特異性が強く反映しており、更にその根元は2次元空間のもつ等角構造にある。等角構造がrenormalized productをどのように規定するか、さらには表現可能な保型形式をどのように規定するか等の問題と関連している。今後はこれらの特徴付けを明らかにすることへ研究を発展させる必要がある。評価する有理点およびそこでのrenormalized productの重みのぺアからなる空間上のコンフィギュレーションヘのモデュラー群の作用の分解とおよびカスプヘのモデュラー群の作用の関連を調べることにより表現可能な保型形式のクラスを規定するというのが一つの方向である。11年度の研究では、アイゼンシュタイン級数で保型形式の空間が記述できるという条件の下で、いくつかの具体例をしらベ、保型形式が多重相関関数として表現可能であることが確かめられた。