| Research Abstract |
リーマン面上の複素射影空間のgrafting理論とは,リーマン面上の任意の複素射影構造は,あるリーマン面の双曲構造に,measured laminationを「接ぎ木」して得られる,というThurstonによる新しい理論で,従来の解析的理論と比較検討しつつ研究すれば,リーマン面上の複素射影構造を幾何学的に捉えることができる,というのが,本研究の目的であった.我々は,まず,measured lamminationを固定して,それを各リーマン面にgraftすることにより,新しいリーマン面を得る,という手続きにより,各measures laminationに対して,タイヒミュラー空間からそれ自身への写像を考える.その写像は,measured laminationがintegralのとき,実解析的自己同形写像であることが,谷川によって示されており,また,一般のmeasured laminationに対しては,固有写像であることが示されている.それでは,一般のmeasured laminationの場合,そのmeasured laminationが引き起こすタイヒミュラー空間からそれ自身への写像が自己同形写像であるかどうか,というのは,非常に微妙な問題である.この問題に対しての,全面的な解決には,まだ至っていない.しかし,タイヒミュラー空間の一点に対して,その逆像が,滑らかな1パラメータ族をなさないことは分かった.また,この問題は,次の問題と密接な関係があることが分かった;まず,リーマン面を一つ固定する.Measures laminationの空間は,タイヒミュラー空間と同じ次元の球と同相であるが,各measured laminationを,固定したリーマン向にgraft代する.すると,Measured laminationの空間から,タイヒミュラー空間への写像ができるが,この写像が固有写像であることは,谷川がすでに証明した.そこで,この写像が同相写像であると予想するのが自然である.この問題に対しては,measured-laminationの空間の,原点の近傍では,局所同相であることが証明できた.
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