| Research Abstract |
リーマン面上の射影構造全体の空間は,タイヒミュラー空間上のベクトル束の構造を持つことは,古くから知られており,その事実は,射影構造がある種の微分方程式に密接に関連するという事実から分かるものである.従って,従来,リーマン面上の射影構造に関する研究は,解析学的見地からのアプローチが多かった.しかし,Thurstonによる「全ての射影構造は,リーマン面の双曲構造にmeasured laminationを接ぎ木(grafting)することによって得られる」という発見により,射影構造への幾何学的アプローチ,及び,射影構造全体の空間の全く新しいパラメータ付けが与えられた.本研究の目的は,この幾何学的アプローチから,射影構造を研究することであった.従来の解析学的アプローチは,射影構造の下の複素構造を予め固定して考察する,すなわち,ベクトル束における各ファイバーに注目することが自然であったが,本研究においてThurstonのパラメータ付けを研究していくに従い,各ファイバーに注目するのではなく射影構造全体の空間を考察することが有効で,かつ,結局は各ファイバーに関する情報をもたらすこともあることが分かった.本研究において明らかになったことは,まず,モノドロミーがフックス群であるがdeveloping mapがリーマン球への全射であるような構造(exotic structures)は,どんな複素構造の上にも,無限に存在すること,及び,そのような構造のある種の特徴付けが得られた.それに関連して,モノドロミーがクライン群であるような射影構造の各ファイバーおける分布,さらに,各ファイバーを固定すれば,射影空間をそのモノドロミーに写す写像が,固有写像であることが明らかになった.
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