分散型方程式における平滑化作用

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640182
• Research Institution: Himeji Institute of Technology
• Principal Investigator: 保城 寿彦 姫路工業大学, 理学部, 助教授 (40211544)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤原 毅 姫路工業大学, 理学部, 助教授 (10202293) ; 楳田 登美男 姫路工業大学, 理学部, 教授 (20160319) ; 岩崎 千里 姫路工業大学, 理学部, 教授 (30028261) ; 杉本 充 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60196756) ; 平野 克博 姫路工業大学, 理学部, 講師 (90316034)
• Keywords: 偏微分方程式 / 調和解析学 / スペクトル理論 / 平滑化作用 / 制限定理 / 極限吸収原理

Research Abstract

本課題では偏微分方程式のSchrodinger方程式等を含む分散型と呼ばれる種類の方程式で生じる平滑化作用について研究する。実関数論的なアプローチだけでなく、数理物理学的なアプローチや非線形問題などの周辺分野との関連も重視することを特徴としている。本年は研究期間の最後の年で研究の当初から予定していた内容が終了し、新たな展開の準備の為得られた結果が少なかったが、研究発表の欄にある様に分担者の楳田登美男氏によって√<-Δ>の重み付きSobolev空間での有界性に関する結果と相対論的Schrodinger作用素の固有関数展開に関する結果が発表予定となった。これらのスペクトル理論に関する結果は本課題の方針で述べた様に平滑化作用や実関数論のFourier制限定理と密接な関係があり、これら一見別個の研究対象に思えるものが実は全てsingularな表象を持つFourier multiplierあるいは擬微分作用素の有界性に関する話題とみなすことがきる。今年の結果は表象がsingularである集合が1点である場合についての結果(いままでは曲面になる場合についての結果のみ)とみなせるので、これによって平滑化作用の研究に新たな視点が得られると期待される。本課題は今年でひとまず終了するが、平滑化作用に関する研究は非線形問題やBochner-Riesz予想・掛谷予想などとの関係で、現在も国内外で活発に研究が続いている。これからも暫くはこの分野の進展に力を注いでゆきたいと思っている。

Research Products

• [Publications] 楳田登美男: "The action √<-Δ> on weighted Sobolev spaces"Letters in Mathematical Physics. (発表予定).
• [Publications] 楳田登美男: "Eigenfunction expansions associated with relativistic Schrodinger operators"Conference Proceeding (Clausthal, July 2000, M.Demuth, editor). (発表予定).