1999 Fiscal Year Annual Research Report
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10640201
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
井上 淳 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40011613)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村田 實 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (50087079)
野村 祐司 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40282818)
磯部 健志 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (10262255)
盛田 健彦 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (00192782)
伊藤 秀一 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90159905)
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| Keywords | スーパー解析 / 非可換代数 / 偏微分方程式系 / ランダム行列理論 / 超対称性 / ワイル方程式 |
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| Research Abstract |
(線型)偏微分方程式の研究は、Heisenbergの関係がもたらす非可換性をFourier変換を用いて相空間での可換な対象物と捉えられる部分と、それ以外のおつりの処理という形で長らく続けられてきた(擬微分作用素論)。これに対し偏微分方程式系の研究には、行列構造から由来する非可換性がさらに追加されてくる。今までの多くの偏微分方程式系の研究は、与えられた系を対角化し擬微分作用素論を適用するという視点でなされてきた。この視点を全く新しくする試みを提供してきた。
無限加算個のGrassmann生成元を持つFr\'echet-Grassmann代数をあたかも基礎体とみなし、その上の解析学(微積分、線型代数、実解析)を用意する。これをスーパー解析といおう。一方「全ての行列はClifford代数の元で展開され、Clifford代数はGrassmann代数に表現を持つ」に注意し、スーパー解析を用いると、行列構造をスーパー空間上の微分と掛け算作用素でおき代えることが可能になる。
この言い換えを用いると、偏微分方程式系に対応する自然なHamiltonianを定義出来る。そこで、藤原大輔が用いたあるクラスのポテンシャルに対応するSchrodinger方程式の基本解の構成法を、スーパー空間上に表現されたWeylやDirac方程式に対して適用した。
全く別の問題として、ランダム行列理論に現われるWigner's semi-circle lawについて野村祐司の協力を得て、収束の精密な評価を出した。
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[Publications] A.INOUE: "On a construction of the fundamental solution for the free Wely equation by Hamiltonian path-integral method.--a case with "odd variable coefficients""Tohoku Journal of Mathematics. 50. 91-118 (1998)
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[Publications] A.INOUE: "On a construction of the fundamental solution for the free Dirac equation by Hamiltonian path-integral method.--another interpretation of Zitterbewegung"Japanese Journal of Mathematics. 24. 297-334 (1998)
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[Publications] A.INOUE: "On a "Hamiltonian path-integral" derivation of the Schrodinger equation"Osaka Journal of Mathematics. 36. 111-150 (1999)
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[Publications] A.INOUE & Y.NOMURA: "Some refinements of Winger's semi-circle law for Gaussian Random Matrices using superanalysis"Asymptotic Analysis. (accepted).
