1998 Fiscal Year Annual Research Report
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10640214
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
古谷 賢朗 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70112901)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大槻 〓一 東京理科大学, 理工学部, 教授 (80112895)
田中 真紀子 東京理科大学, 理工学部, 講師 (20255623)
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (90178319)
岡 正俊 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (70120178)
小林 嶺道 東京理科大学, 理工学部, 教授 (70120186)
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| Keywords | Spectral flow / maslov index / Fredholm pair / Spectral invariant / elliptic operator / Lagrangian subspace / Cauchy data space |
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| Research Abstract |
有界自己共役Fredholm作用素の空間の非自明成分の基本群はZであり、高次homotopy群もBott周期性によって分っている。Spectral flowはそれとZの同型を与えている。最近カナダのJ.Phillipsによって与えられた、必ずしもloopでないpathのSpectral flowの新しい定義をヒントにMaslov indexの新しい関数解析的な定義を与えた。これは無限次元(のsymplectic Hilbert space)でも有効で、その場合は与えられた一つのLagrangian subspaceとFredholm pairをなすLagrangian subspaceの作る空間での端点を固定したpathのhomotopy類に対する不変量である。またこの定義による値と、Robbin-Salamonによるpathに対するMaslov indexの定義による値との関係を表す公式を得、それによってそのhomotopy不変性を厳密に証明出来た。さらにこの新しい定義にもとずいてSpectral nowとMaslov index及びCauchydata spaceの間の関係について一般的な公式を証明した。すなわち、D_<min>を定義域とする対称作用素Aを考える。そのときその共役作用素A^*の定義域D_<max>のD_<min>による商空間D_<max>/D_<min>には自然にHillbert空間の構造とsymplectic vector spaceの構造が入る。そこで(Ker(A^*)+D_<min>)/D_<min>(=Cauchy data space)はAが然るべき条件を満せばLagrangian subspaceになる。今Dを定義域とするAの自己共役拡張(compact resolventとする)A_D=A^*_<|D>を固定し、別に{Bt}_<t∈{0,1}>を有界自己共役作用素のpathとしたとき、作用素族{A_D+B_t}のSpectral flowとCauchy dataの族{Ker(A^*+B_t)/D_<min>}のD/D_<min>に関するMaslov指数の一致性を非常に一般的な状況のもとで示した。これは閉多様体上の自己共役Dirac作用素のpathのSpectral flowと、多様体を超曲面で分割したときに境界超曲面に表れる解の境界値の作る空間のpathのMaslov指数との関係を与えている定理(Yoshida-Nicolaescu)の一般化である。これに関連して、無限次元でのHormander indexをより広い4つのLagrangian subspaceの組に対しての定義可能性を研究しているところであり、それを用いて上のDを取り換えたときの様子(Dirac作用素の場合は楕円型境界条件を取り換えることに対応する)を記述するメカニズムを考えているところである。
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Research Products
(6 results)
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[Publications] Bernhelm Booss and K.Furutani: "The Maslov rndex : a Functional Axalytical Definition and the Spectral Flow Formula" Tokyo Journal of Mathematics. 21・1. 1-34 (1998)
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[Publications] M.Oka, N.Sumi: "Morse-Smale diffeomorphisms and the standard family" Tokyo Journal of Mathematics. 21・4. 471-476 (1998)
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[Publications] Takao Kobayashi: "Srngular Solutions and Propagation of Holomorphic sowtions to Nonlinear Defferential Eouations" Publications of RIMS, Kyoto Univ.34. 43-63 (1998)
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[Publications] Takao Kobayashi and H.Omori: "Global hypoellipticity of subelliptrc operators on closed manifolds" Hokkaido Mothematical Journal. to appear. accepled
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[Publications] M.S, Tanaka and T.Nagano: "The involutions of compact symmetric spaces IV" Tokyo Journal of mathematics. to appear. accepled
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[Publications] M.Oka, N.Ajki: "Differentrat maps hauiny hypoibolic sets" Topology and its applications. 82. 15-48 (1998)
