散逸型偏微分方程式に対する慣性多様体の離散近似と構造安定性についての研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640217
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 小林 和夫 早稲田大学, 教育学部, 教授 (30139589)
• Keywords: 慣性多様体 / 散逸型偏微分方程式 / 発展方程式 / 差分近似 / 構造安定性

Research Abstract

Hilbert空間H空間における時間依存する半線形発展方程式
(E) du(t)/dt=Au(t)+F(t,u(t))
に対する慣性多様体の存在、滑らかさ、近似について研究し、その結果を、Kuramoto-Sivashinsky 方程式、Chan-Hilliard 方程式などの数値計算の理論に応用した。ここで、A は Hにおける解析的半群の生成作用素、F:R×H^α→H,0【less than or equal】α<1,(H^α=D(A^α)はAの分数べきA^αのグラフノルムを持ったHilbert空間)である。定理 次の(Al)-(A4)を仮定する。(Al)全ての実数omegaに対してλ+iwがリゾルベント集合p(A)に属するような実数lambdaが存在する。(A2)F(t,x)はxについてFrechet微分可能、D_xF(t,・):H^α→H は一様連続、かつ||D_xF(t,x)y||【less than or equal】Σ^^m__<j=1>||Bjy||,x,yεH^α,t∈R
を満たすBj∈B(H^α,H),j=1,2,・・・,mが存在する。(A3)f∫^0_<-∞>||e^<ut>F(t,0)||^2dt<∞を満たす μ<λ が存在する。(A4)Σ^m_<j=1>Sup_w||B_j(A-λ-iw)^<-1>||<1.このとき、(E)はC^1級の慣性他様体M(t)を持つ。定理 各nに対して半線形発展方程式
(En) du(t)/dt=Anu(t)+Fn(t,u(T))は仮定(Al)-(A4)をnについて一様に満たし、さらに次を満たすとする。(A4)n→∞のとき、(An-v)^<-1>z,Fn(t,x)→F(t,x),DFn(t、x)y→DF(t、x)y,x、y∈H^α,z∈H.(H5)(An-v)^<-1>(A-μ)^<-1>-1=(A-μ)(An-v)^<-1>このとき、(En)に対する慣性多様体Mn(t)はC^1位相で(E)に対する慣性多様体M(t)に収束する。仮定(Al)-(A6)はこれまでに用いられていた上意見より条件より応用上便

Research Products

• [Publications] 小林和夫: "C' approximations of inertial manifolds via finite differences and applications" 京都大学数理解析研究所講究録.
• [Publications] 小林和夫: "Existence of renormalized solutions of degenerated quasilinear elliptic equations" 早稲田大学教育学部学術研究-数学編-. 47. 51-68 (1999)