P進解析を用いた分岐理論の拡張

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10740006
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 松田 茂樹 千葉大学, 理学部, 助手 (90272301)
• Keywords: 数論 / P進解析 / 分岐理論 / 過収束クリスタル / Katz対応 / 非正則度 / スワン導手

Research Abstract

まず局所的なp進微分方程式の性質についてだが、正標数の代数曲線上の準巾単かつ過収束なisocrystalの圏論的な性質について研究を進めた。その結果、この圏が巾単なもののなす部分圏に対応する加法的代数群と、エタールな、つまり有限被覆によって自明化されるような対象のなす部分圏に対応する代数群との積である代数群の表現の圏と一致することを示すことが出来た。これらはp進微分方程式のフロベニウス構造や、非正則度の計算に応用を持つ。
更に、ここでエタールな方の代数群は、穏やかな分岐しか起こさないものに対応する代数群を激しい分岐を惹き起すものに対応する部分群で拡大したものになっているのであるが、この激しい分岐に対応するものの方は、古典的な局所体のガロア群の激しい分岐の部分を代数化して得られる定数代数群に一致しているとの予想も得た。これらの群には、分岐からくる自然なfiltrationも定義される。以上の結果については現在投稿中の雑誌にて発表予定である。この結果を高次元の代数多様体上にも拡張することも考えている。
一方、p進円板内に、正標数に還元した時に合流するような複数の特異点を持つようなp進微分方程式の性質については、基礎となる計算を進めた。これは剛解析コホモロジーとドラムコホモロジーとで違いが現われるところであるが、Matignon氏らが進めている曲線の巡回被覆と合同変換についての研究と深く関連していることが分かり、Legendreの楕円曲線の族や古典的な超幾何微分方程式での面白い例があることを知った。これらとの結びつきについて現在考察を進めている最中である。