P進解析を用いた分岐理論の拡張

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10740006
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 松田 茂樹 千葉大学, 理学部, 助手 (90272301)
• Keywords: 数論 / p進解析 / 分岐理論 / 過収束クリスタル / Katz対応 / 非正則度 / スワン導子

Research Abstract

前年度からの研究で、幾何的に意味のあると思われる、曲線上の準巾単かつ過収束なisocrystalないしは、それに対応するp進微分方程式の局所的なガロア群が定義され、その構造やその上に乗るフロベニウス構造がはっきりした。
本年度の研究では、それを大局的な微分方程式に応用することを考えた。特に一次元射影直線上の2点に特異点を持つ階数2の合流型超幾何微分方程式を考察し、この場合には特異点での局所的なガロア群が大局的なガロア群に単射で入ることを示し、また大局的なガロア群が、2点での局所的なガロア群で代数的に生成されるとの予想を得た。これは1進層の場合の類似の結果とも良く符合している。これにより、大局的なガロア群の構造についても明確な予想を立てることができ、その上で定義可能なフロベニウス構造も正確に捉えることができる。上の予想をきちんと示しより具体的な計算をするには、p進的な多様体の上での解析接続の計算が必要になる。これはp進解析的な関数を代数関数で近似することで計算できるはずであるが、これについては一般的な方法はまだ見つかっていない。今後の課題である。
複素数体上の場合には、一次元射影直線上の3点に特異点を持つ超幾何微分方程式の微分ガロア群はモノドロミー群として捉えられ、楕円曲線のモデュライや周期と深い関係があった。上で得られた結果はp進の場合はこれらと平行する理論が合流型の場合にも見つかる可能性を示唆している。これは複素数体上の場合にはなかった現象である。