固有log smooth底変換、logホッジ理論とアーベル多様体の退化

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10740008
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 中山 能力 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (70272664)
• Keywords: 対数的幾何 / 対数的ホッジ構造 / 対数的アーベル多様体

Research Abstract

当該研究は、近年注目を集め始めている、複素解析的なlog幾何、特にlogホッジ理論における基本的かつ重要と思われるいくつかの問題を対象としている。初年度は梶原健氏との共同で次のような成果を得た。
1 log Beit:コホモロジーじおける固有log smooth底変換定理(予想)について以下の事実が確かめられた。
(1)一般semistable射については正しい。((4)のGD予想の部分的に解くことによって証明される。)
(2)baseがlog smoothのときは正しい。((1)(2)の臼井三平氏の局所自明性定理の帰結の一般化である。)
(3)algebraicで、いくつかの仮定を課せ正しい。(log GAGAGを拡張して使う。)
(4)一般の場合もあるtopologyの命題(GD予想)が正しければ正しい。
2.複素数位上のlogアーベル多様体の定義とlogホッジ構造との同等性について
(1)baseがlog poimted diskのときに主に研究し、logアーベル多様体を、logマンフォード構成によって得られるあるvaluafive log spaceとして定義すると、logホッジ構造との同等性が得られたりであることがわかった。
(2)上記(1)は、logアーベル多様体、logホッジ構造の両者を、従来の、退化したアーベル多様体、退化したホッジ構造の理論の枠組で捉え直すことによって証明される見通しがたった。この現象は、従来の退化理論がlogの枠組で再解釈できるということの実例とも考えられる。
(3)次年度の課題としては、上記の証明を完結し、さらにbaseを一般的にすることが重要である。例えば、baseをlog pointした場合、従来のホッジ理論の枠組では捉えられない対象となりうるのかどうかは興味深い課題である。

Research Products

• [Publications] Takashi Kajiwara and Chikara Nakayama: "Weights of the l-adic cohomology of a proper toric variety" Communication in Algebra. 26(12)(発表予定).
• [Publications] Kazuya Kato and Chikara Nakayama: "Log Betti cohomology,log etale cohomology,and log de Rham cohomology of log schem over" Kodai Mathematical Journal. (発表予定).