半単純リー群の既約表現を用いた非コンパクト複素多様体上の調和解析

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10740085
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 関口 英子 神戸大学, 理学部, 助手 (50281134)
• Keywords: ペンローズ変換 / 半単純リー群 / ユニタリ表現 / 有界対称領域 / 複素多様体 / 積分幾何 / 概均質ベクトル空間 / 超幾何函数

Research Abstract

当該期間中に Sp(n,R) の古典型有界対称領域に対して以下に述べる 1,2 に関する研究を行った。1. 最高ウェイト表現の幾何的構成:非コンパクト半単純り一群のユニタリ最高ウェイト表現は無限次元表現の中で,ある種の有限次元性を帯びた特殊なクラスの表現である(コンパクト連結り一群の有限次元既約表現に近い性質をもつ)。まず,この最高ウェイト表現を非コンパクトな複素等質多様体上の正則ベクトル束に係数をもつドルボーコホモロジーの空間に実現した。このコホモロジー表現の既約性を調べること,及び,その K-type 公式を証明するのがこのステップでの目標であった。そのために,この幾何的実現を '80 年代初頭に得られた Zuckerman-Vogan 導来函手加群の言葉に翻訳し,代数的手法による研究を行った。尚,当該研究のためには既約性については一般論が知られていないパラメータの表現を扱う必要があり,実際,ペンローズ変換について最も重要なパラメータに対してはドルボーコホモロジーの空間は二つの既約成分の直和になることの証明を行った。
2. 幾何的実現の間のペンローズ変換の構成:
(1)(積分幾何における立場)部分多様体の族が与えられているとき,各部分多様体の上で積分する(ラドン変換など)。
(2)(コホモロジーの引き戻し)部分多様体の族が与えられているとき,コホモロジーの元を各部分多様体に引き戻すことができる。
上の2つの既知の変換をモデルとしてペンローズ変換を構成した。

Research Products

• [Publications] H.Sekiguchi: "古典型有界対称領域におけるPenrose変換の高次元化と特異ユニタリ表現" リー群と幾何学シンポジウム報告集(金行 壮二氏,浅野 洋氏編集). 1-8 (1998)
• [Publications] H.Sekiguchi: "ある古典型有界対称領域上の偏微分方程式系-ペンローズ変換による大域解の構成と無限次元表現" 1998年度日本数学会年会函数解析分科会特別講演アブストラクト. 1-10 (1999)