頂点作用素代数のテータ 関数の研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10874001
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤田 尚昌 筑波大学, 数学系, 講師 (60143161) ; 増田 哲也 筑波大学, 数学系, 助教授 (70202314) ; 宮下 庸一 筑波大学, 数学系, 教授 (00000795)
• Keywords: テーター関数 / ラティス / モジュラー不変 / ヴィラソロ代数 / 自己同型群 / モンスター単純群 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数の概念は現在、2次元共形場浬論を代数化したものと理解されているが、通常の2次元共形場理論がモジュラー不変性を仮定するのに比べて、頂点作用素代数の公理にはこのようなモジュラー不変性が入ってはいない。しかしながら、ズーが証明したように、強いモジュラー不変性を示している。
本研究は研究代表者の宮本がテーター関数の拡張となるものを頂点作用素代数の上で定義したのが出発点である。即ち、ランクnの頂点作用素代敷Vに対して、次数作用素L(0)とウエイト1の元vを使ってトレイス関数 ch(v,z)=tr|V exp(2 iL(0)z+v(0)) を定義することが出来る。ラティスから構成される頂点作月素代数に対してこれを適用すると、一般的なテーター関数(のデデキントのエーター関数のn乗倍)が得られる。ラティス以外からも頂点作用素代数は定義でき、それらに対してこの関数の性質を求めることが本研究の目的である。
平成10年度では、この関数のモジュラー変換の公式を示し、通常のテーター関数と同様にモジュラー不変の性質を持つことを示した。この結果から、頂点作用素代数自身が、通常のモジュラー不変よりも強いモジュラー不変性を持つと期待出来るようになった。その為、一変数ではなく、多変数のモジュラー形式も定義出来るのではないかと考え、一変数を拡張した多変数の関数を定義した。
次年度以降では、この多変数の関数のモジュラー変換式を求め、不変とする群を決定したい。

Research Products

• [Publications] 宮本雅彦: "Representation theory of code vertex operator algebra" Journal of Algebra. 201巻. 115-150 (1998)
• [Publications] 宮本雅彦: "The moonshine VOA and a tensor product of Ising models" “The monste and Lie algebras" OSU M.R.I.P.7巻. 99-110 (1998)