高次元代数多様体上の対数的標準因子の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440002
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50192654) ; 織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444) ; 小木曽 啓示 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (40224133)
• Keywords: 極小モデル / 導来圏 / モジュライ / 特異点 / 代数多様体 / 層 / オービフォルド / フリップ

Research Abstract

極小モデル理論においては,フリップの存在予想が中心的な未解決問題であるが,最近になって導来圏の理論と層のモジュライの理論を使った新しいアプローチが浮上してきたので,この方面の研究を行った.まず,研究代表者はフリップの存在予想がフロップの存在予想に帰着されることを証明した.フリップは標準因子が負になるような部分多様体を標準因子が正になるような部分多様体に置き換える多様体の手術であるが,フロップは標準因子が零であるような部分多様体をやはり標準因子が零であるような別の部分多様体に置き換える多様体の手術である.フロップによって層の導来圏は不変であると予想されているので,導来圏を使った構成にはフロップのほうが適していると思われるのである.多様体はその上の点全体のモジュライ空間であるとみなすことができるので,点をその構造層(点層)で置き換えれば,層の導来圏の中の点層に対応する対象(ひねくれ点層)全体のモジュライ空間としてフロップが構成できると予想されるのである.ところで,今までの導来圏の理論は非特異な多様体のみを対象としてきたが,フロップをするべき多様体には一般には特異点があり,また非特異な多様体から出発してもフロップすると特異点が現れたりすることが知られている.研究代表者は商特異点を持つ多様体を考察し,この場合にはフロップによって通常の層の導来圏は必ずしも不変ではないことを示した.そしてそれに代わるものとして,オービフォルド層の導来圏というものを導入し,いくつかの例ではこれを考えればすべてうまくいくことを証明した.これにより,少なくとも商特異点のみを持つ多様体に対してはフロップ,したがってフリップが導来圏の方法で構成されることを期待できることになった。

Research Products

• [Publications] 川又雄二郎: "On a relative version of Fujita's freeness conjecture"Granert Festschrift. (予定).
• [Publications] 川又雄二郎: "On algebraic fiber spaces"Asian. Journal of Math. (予定).
• [Publications] 川又雄二郎: "射影空間の幾何学"朝倉書店. 224 (2001)