1999 Fiscal Year Annual Research Report
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11440012
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
寺尾 宏明 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90119058)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川崎 健 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助手 (40301410)
中島 徹 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20244410)
岡 睦雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40011697)
山田 裕史 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40192794)
竹田 雄一郎 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助手 (30264584)
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| Keywords | 超平面配置 / ガウス・マニン接続 / KZ方程式 / 対数的極 / 組合せ同値 |
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| Research Abstract |
超平面とは、$n$次元のアフィン空間の中の$n-1$次元の部分空間のことである。したがって、超平面とは、$n=1$ならば直線上の点の、$n=2$ならば平面内の直線の、$n=3$ならば空間内の平面の異称にすぎない。「超平面配置」とは、アフィン空間(あるいは、ベクトル空間、射影空間)の中に置かれた超平面の有限族のことである。超平面配置の「部屋」の個数は、対応する複素多様体の重要な位相不変量を表している。特に、ある種の超平面配置に対しては、「部屋」の個数は代数的な不変量とも深く関連することが知られている。超平面配置で組合わせ的に同値なもの全体の作るモデュライ空間の構造を調べ、そのコンパクト化の境界の因子を決めた。点の配置空間の場合には、組紐配置の補空間がモデュライ空間に当たる。この場合の超幾何関数は、Knizhnik-Zamolodchikov(KZ)方程式を満たすのであるが、一般の場合も、因子に対数的極を持つ接続(ガウス・マニン接続)が存在することを示した。われわれの方法について解説しよう。重み付き超平面配置に付随して(青本-Gelfandの意味での)超幾何積分が考えられるのであるから、その超平面配置の性質や、その重みたちが超幾何積分に反映されるのは当然のことである。まず、ひとつの固定された重み付き超平面配置を考えた時、その組み合わせ的性質が、どのように超幾何積分に反映されるか、を調べた。特に、ツイストコホモロジーの基底の組み合わせ的記述が中心的な話題であった。次に、組み合わせ的状況の固定されたような超平面配置の族を考えて、退化する超平面配置に対応するモヂュライ空間内の境界点の近くでの超幾何積分の挙動を、超幾何関数の満たす微分方程式を通して、観察した。それは、n点の族の場合のKnizhnik-Zamolodchikov方程式を一般化した微分方程式であり、それが、一般的に、境界上で対数的な極を持つことが示される。ただし、その微分方程式が、重みたちに具体的にどのように依存しているのかは、まだ完全にはわからないが、モデュライ空間が余次元1の場合には、具体的に接続行列を決定した。
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[Publications] M.Oka: "Flex curves and their applications"Geometriae Dedicata. 75. 67-100 (1999)
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[Publications] M.Oka: "Lines on Brieskorn-Pham surfaces"Kodai J. Math. (to appear).
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[Publications] M.Oka: "Geonetry of cuspidal sexties and their dual curves"Advanced Studies in Math. (to appear).
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[Publications] Susumu Ariki: "Reduced Schur functions and Littlewood-Richardson coePP:cierets"J. of London Math Soc. (2). 59. 396-406 (1999)
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[Publications] A.Shepler and H.Terao: "Logarithmic forms and anti-invariant forms of reflection groups"Kinokuniya-North-Holland. (出版予定).
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[Publications] Tatsuhiro Nakajima: "(Schurs Q-functions and twisted affine Lie algehras) Combinatorial Methods in Representation Theory"Advanced Studies in Pure Math.
