Dirichlet形式、等周不等式を用いた多次元拡散過程の新しい構成方法

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440029
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 長田 博文 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20177207)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 千代延 大造 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50197638) ; 服部 哲弥 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10180902) ; 市原 完治 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (00112293) ; 篠田 正人 奈良女子大学, 理学部, 講師 (50271044) ; 植村 英明 愛知教育大学, 教育学部, 助教授 (30203483)
• Keywords: 拡散過程 / ディリクレ形式 / フラクタル / Sierpinski Carpet / 等周不等式

Research Abstract

以下、研究期間ないに発表することが確定した論文の中で代表的なもの2つについて内容の要約を述べる。
1.Osada, Hirofumi A family of diffusion processes on Sierpinski carpets.(to appear in Probab. Theory Related Fields).
2.Hariya, Yuu ; Osada, Hirofumi Diffusion processes on path spaces with interactions.(toappear in Rev.Math.Phys. ).
論文1ではSierpinski Carpetというフラクタル集合の上に良い性質を持つ拡散過程の構成を行い、またその遷移確率の評価を調べた。ここで用いた方法は従来にない新しい手段である。一つの拡散過程でなく、パラメターを含む族を作り上げた点もこの仕事の特徴である。ソフトな解析の部分では、Dirichlet形式のdomainについて、稠密な部分集合においてノイマン境界条件を満たすLipschitz連続な関数のクラスを考えるということをした。このことにより、Lebesgue測度に対し特異な測度についても前Dirichlet形式の可閉性を示すことができる。さらに、ハードな解析の部分では、幾何的な手法により拡散過程の遷移確率の評価を行った。ここで言う幾何的な方法とは、特異な測度に対しても、開集合の境界の表面積を自然に定義し、等周定数を考えその正値性を、ある種の「被覆」の存在を証明することにより示すというものである。
論文2では、パス空間C(R;R)を状態空間とする拡散過程を構成した。Dirichlet形式理論を用いることにより係数(potential)について極めて緩やかな仮定の下で構成を行った。これらの拡散過程は以前の研究で得られているパス空間上のGibbs測度を不変確率測度として持つものである。

Research Products

• [Publications] Yuu Hariya: "Diffusion processes on path Spaces with interactions"Rev.Math.Phys.. (to appear).
• [Publications] Hirofumi Osada: "A family of diffusion processes on Sierpinski Carpet"Probab.Theory and Related Fields. (to appear). (2001)
• [Publications] S.Kusuoka : "Laplace approximations for sums of independent random vectors"Probab.Theory and Related Fields. 116-2. 221-238 (2000)
• [Publications] Song Liang: "Laplace approximations for sums of independent random vectors -the degenerate case-"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 7. 195-220 (2000)
• [Publications] T.Chiyonobu: "A limit formula for a class of Gibbs measures with long range pair interactions"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. (in press).