2001 Fiscal Year Annual Research Report
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11440047
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
山田 泰彦 神戸大学, 自然科学研究科, 助教授 (00202383)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044)
高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678)
野海 正俊 神戸大学, 自然科学研究科, 教授 (80164672)
増田 哲 神戸大学, 自然科学研究科, 助手 (00335457)
梶原 健司 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (40268115)
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| Keywords | パンルベ方程式 / ワイル群 / 超離散化 / 箱玉系 / 組み合わせ論 / トロピカル化 / 双有理表現 / 離散ソリトン |
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| Research Abstract |
本年度の研究で、アフィンワイル群の表現より実現される離散パンルベ方程式の構造と表現論、組み合わせ論との関連が一層明確になった。
梶原、野海、山田は、乗法的アフィンワイル群の表現に由来するq-差分パンルベ方程式を研究し、直積のアフィンワイル群W(A^<(1)>_<m-1>)×W(A^<(1)>_<n-1>)の乗法的表現を構成した。これは昨年度に得られたq-P_<IV>方程式とそのベックルンド変換をm=3,n=2の場合として含み、その一般化を与えている。この系では、アフィンワイル群の一方W(A^<(1)>_<m-1>)を対称性とみると、もう一方W(A^<(1)>_<n-1>)はそれと可換な離散的時間発展を担うものと考えられ、q-P_<IV>方程式の対称性を一般のA^<(1)>_<m-1>型に拡張するばかりでなく、ヒエラルヒー的な時間発展を含む拡張にもなっている。実際、このヒエラルヒー的方程式は、q-KP方程式としても定式化できることも示した。山田は、上記の一般化されたW(A^<(1)>_<m-1>)×W(A^<(1)>_<n-1>)型パンルベ方程式のベックルンド変換であるワイル群の表現は、ソリトン・セル・オートマトンの構成に用いられるものと全く等価であることを明らかにした。こうして、W(A^<(1)>_<m-1>)×W(A^<(1)>_<n-1>)型の系は、超離散極限において、A型スピン系のクリスタル極限として得られる箱玉系と等価であることが示された。
この結果の副産物として、野海、山田は、完全正値行列について、2重対角行列への分解が、正値性を保つよい座標を与えることを見出し、その応用として、バンピング、ロビンソン-シェンステッド-クヌース対応等、組み合わせ論のいわゆるトロピカル化を導いた。
増田は、q-Pv, Pv_Iについて、特殊解の構造を調べ、梅村の解を含むより一般的な有理解、代数解について、その行列式による解の表示を構成し、有理指標との関連について考察を深めた。
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Research Products
(5 results)
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[Publications] K.Kajiwara, et al.: "Determinant Formulas for the Toda and Discrete Toda Equations"Funkcialaj Ekvacioj. 44. 291-307 (2001)
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[Publications] M.Noumi, Y.Yamada: "Birational Weyl group action arising from a nilpotent Poisson algebra"Physics and combinatorics. 1999. 287-319 (2001)
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[Publications] Y.Yamada: "A Birational Representation of Weyl Group, Combinatorial R-matrix and Discrete Toda Equation"Physics and combinatorics. 2000. 305-319 (2001)
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[Publications] K.Kajiwara, et al.: "A study on the fourth q-Painleve equation"Journal of Phys. A.. 34. 8563-8581 (2001)
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[Publications] A.Kuniba, et al.: "Difference L operators related to q-characters"Journal of Phys. A.. (印刷中). (2002)
