超離散化手法の応用的研究

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11555023
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 高橋 大輔 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (50188025)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 西成 活裕 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (40272083) ; 松木平 淳太 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (60231594) ; 廣田 良吾 早稲田大学, 理工学部, 教授 (00066599) ; 筧 三郎 早稲田大学, 理工学部, 助手 (60318798)
• Keywords: 超離散 / ソリトン / 可積分 / セルオートマトン / クリスタルベース / 反応拡散系

Research Abstract

本年度は本研究の開始年度であり、(1)超離散化手法の数学的基盤の強化、(2)ソリトン理論の超離散化による拡張の2点に重点をおいて研究を進めた。(1)のテーマについては量子可積分系で発展してきたクリスタルベースとの関連が見いだされ、超離散化が提示する代数構造がアフィンリー環やR行列等と関連することがわかった。しかしながらその種の代数構造と非線形発展系として超離散ソリトン系との間にはまだ不明な点もあり、来年度以降の課題として持ち越すことになった。(2)のテーマについては、番号付き箱玉系と呼ばれるソリトン・セルオートマトンが非自励的KP方程式の超離散化から直接導けることが解明され、箱玉系のソリトン解や保存則の表現が解析的に把握することができた。また、不純物を含む戸田格子から非一様戸田格子方程式が得られ、その超離散化解が三角波と呼ばれる超離散系特有の解を生み出すことが解明された。これらの結果はソリトン理論に対する新しい知見を提示するものとして高い意義を有している。
また、次年度以降の研究計画を先取りする形で非常に新しい成果も得られた。ひとつは数論における3x+1問題の超離散方程式による表現がわかったことである。この成果は超離散化手法を数論分野に初めて応用できた例であり、今後の発展が望まれる。さらに、反応拡散系のパターン生成や交通流の渋滞形成を再現する超離散モデルも得られた。現在は元の現象との直接的関連性を探っている段階である。また、これらの成果は超離散化手法が非可積分系にも通用することが示された例であり、偏微分方程式系全般の解析手法をデジタル系などの離散系に翻訳することができ、高い応用性を擁する進展であると言える。

Research Products

• [Publications] Nagai, Takahashi, Tokihiro: "Soliton Cellular Automation, Toda Molecule Equation and Sorting Algorithm"Phys. Lett A. 255. 265-271 (1999)
• [Publications] 高橋大輔: "超離散的からくり"数理科学. 435. 12-17 (1999)
• [Publications] Nishinari and Takahashi: "A new deterministic CA model for traffic flow with multiple states"J. Phys. A. 32. 93-104 (1999)
• [Publications] R.Hirota: "Discretization of coupled modified KdV equations"Chaos, Solitons and Fractals. 11. 77-84 (2000)
• [Publications] Iwao and Hirota: "Soliton Solutions of a Coupled Derivative modified KdV Equations"J. Phys. Soc. Jpn.. 69・1. 59-72 (2000)