有限群の離散的幾何および組合せ構造の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640018
• Research Institution: Yamanashi University
• Principal Investigator: 宮本 泉 山梨大学, 工学部, 教授 (60126654)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鈴木 智博 山梨大学, 工学部, 助手 (70235977) ; 佐藤 眞久 山梨大学, 工学部, 教授 (30143952) ; 栗原 光信 山梨大学, 工学部, 教授 (50027372) ; 花木 章秀 信州大学, 理学部, 助教授 (50262647) ; 中井 喜信 山梨大学, 教育人間科学部, 教授 (40022652)
• Keywords: アソシエーションスキーム / 置換群 / 代数的数式処理

Research Abstract

アソシエーションスキームは離散的な組合せ幾何であるが、集合X上可移な置換群のX×X上のorbitsはアソシエーションスキームの公理を満たす。本研究では、有限群に関連する離散的幾何としてアソシエーションスキームの研究を行った。花木研究分担者と共同研究で、オーダー28までのアソシエーションスキームの同型類の分類を行った。分類にはコンピュータを使用し、アソシエーションスキームを構成するにはC-言語によるプログラムを使用し、得られたアソシエーションスキームの同型判定はプログラミングパッケージGAPによるプログラムを作成して行った。結果として得られたアソシエーションスキームの多くは可移な置換群から得られるものであるといって良い。例外も少なからずあるが、そのほとんどがX×X上のorbitの個数が少ないような場合にまとまって現れていて、種類としてみれば小数といえる。regularな置換群のなすアソシエーションスキームは置換表現にすぎず、これらはthinなアソシエーションスキームとよばれている。しかし、その次の同型類と思われるquasi-thihとよばれるクラスに群からは得られない例が一つ見つかった。このような例などは今後の研究課題として考えられる。アソシエーションスキームの同型計算プログラムの応用の研究を行なった。群の定義するアソシエーションスキームの場合、自分自身への同型写像は群の正規化群を含む。正規化群の計算は次数の小さな場合でも非常に時間がかかる場合が少なからずある。同型計算を利用して、正規化群のバックトラック法の探索範囲を減らし、このような場合でも数秒以内で計算を行なえるようになった。また、このプログラムには代数的手法を用いていて、X×X上のorbit数が多い場合に特に効果があることがわかった。この点については、現在、理論的な検証を行なっている。

Research Products

• [Publications] I,Miyamoto: "Computing normalizers of permutation groups efficiently using isomorphisms of association schemes"Proc.2000 Internationl Symp.on Symbolic and Algebraic Computation. 220-224 (2000)
• [Publications] A.Hanaki,I.Miyamoto: "Classification of primitive association schemes of order up to 22"Kyushu J.Math.. 54. 81-86 (2000)
• [Publications] A.Hanaki: "Semisimplicity of adjacency algebras of association schemes"J.Alg.. 225. 124-129 (2000)
• [Publications] A.Hanaki: "S.Kew-symmetric Hadamard matrices and association schemes"SUT J.Math. 36. 251-258 (2000)
• [Publications] 中井喜信: "3次のテータ・ワイル和"京都大学数理解析研究所講究録. 1091. 298-307 (1999)
• [Publications] Masahisa Sato: "Global Dimension of an endomorphism ring of semi-local module"(to appear).