有限群のコホモロジー論の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640033
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 佐々木 洋城 愛媛大学, 理学部, 助教授 (60142684)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平出 耕一 愛媛大学, 理学部, 助教授 (50181136) ; 木曽 和啓 愛媛大学, 理学部, 教授 (60116928) ; 野倉 嗣紀 愛媛大学, 理学部, 教授 (00036419) ; 庭崎 隆 愛媛大学, 理学部, 助手 (50218252) ; ドミトリ シャクマトフ 愛媛大学, 理学部, 助教授 (90253294)
• Keywords: 有限群 / コホモロジー / 表現論

Research Abstract

平成11年度の研究に引き続き,特殊線型群SL(3,F_p)のコホモロジー環の構造を決定した.
次に,奥山氏との共同研究により,次の定理を得た.
定理1 有限群Gのmod pコホモロジー環は次の性質をもつパラメーター系{ζ_1,...,ζ_r},ここで,rはGのp-ランク,をもつ:
(1)各i=1,...,rについて,ζ_iはランクiの基本可換p-部分群の中心化群からのtransfer写像の像である;
(2)各i=1,...,rについて,{ζ_1,...,ζ_i}のランクiの基本可換p-部分群への制限はその基本可換p-部分群のmod pコホモロジー環のパラメーター系である.
これはパラメーター系に関するCarlsonの定理の精密化である.この事実から特に,
系2 有限群Gのp-ランクが3以下ならば,自明なkG-加群のindexは0である.が得られた.これは加群のindex関するCarlsonの予想に対する最初の貢献であり,p-ランクが3の有限群のコホモロジー環の計算において重要である.
さらに,Carlson-Peng-Wheelerによって一般化されたtransfer写像を用いて次の定理を示した.
定理3 有限群Gのmod pコホモロジー環の元ρが正則であるためには,ρのCarlson加群L_ρによって定義されるtransfer写像Tr^<L_ρ>:Ext^*_<kG>(L_ρ,L_ρ)→Ext^*_<kG>(k,k)が0写像であることが必要十分である.
これに関連して次の定理が得られた.
定理4 有限群G上の有限生成加群WがGのSylow p-部分群の中心のshifted巡回部分群上射影的ならば,transfer写像Tr^W:Ext^*_<kG>(W,W)→Ext^*_<kG>(k,k)は0写像である.

Research Products

• [Publications] Hiroki Sasaki: "Mod p cohomology algebras of finite groups with extra special Sylow p-subgroups"Hokkaido Mathematical Journal. 29,No2. 263-302 (2000)
• [Publications] Tetsuro Okuyama and Hiroki Sasaki: "Relative projectivity of modules and cohomology theory of finite groups"Algebras and Representation Theory. (掲載予定).