1999 Fiscal Year Annual Research Report
多重ゼータ関数の挙動:Mellin-Barnes型積分による解明と応用
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11640038
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部, 助教授 (90224485)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
光 道隆 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (30056296)
西岡 久美子 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (80144632)
塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835)
戸瀬 信之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (00183492)
渡部 睦夫 慶應義塾大学, 商学部, 教授 (30080493)
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| Keywords | 多重ゼータ関数 / Hurwitzゼータ関数 / Lerchゼータ関数 / Mallin-Barnes積分 / 漸近展開 / ベキ級数展開 / 二乗平均 / テータ級数 |
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| Research Abstract |
1.多重ゼータ関数の挙動の解明
計画調書三頁(2)式で定義した多重ゼータ関数S(μ,υ,α,β;u,v,w)について、Mellin-Barnes型積分表示を用いた解析接続の状況の解明はほぼ完了した。またSの「ねじれ部分」S^^〜に対する無限級数表示も導出されており、これを用いて、(u,v)が整数点にあるときのSの特殊値や、α,β→+∞,Imu,Imv→±∞におけるSの漸近的挙動についても一応の成果を得ることが出来た。結果は論文"The analytic continuation of a ,multiple series of Tornheim-Mordell and its applications" 及び "Power series and asymptotic series associated with the Lerch zeta-function I "として纏められ、現在欧文学術雑誌に投稿準備中である。
2.多重ゼータ関数の応用
Ramanujanは有名なNotebookの中で、データ型級数Σ^∞_<n=1>(e^<n^2γ>-1)^<-1>のγ→+0における漸近級数の存在を示唆したが、これはBerndt&Evans(1986)によって完全な形に決定された。本研究代表者はこの公式をBarnes(1904)の多重ゼータ関数ζ_γ(s,α|ω__<_>)を用いて一般化した。成果は論文"On an asymptotic formula of Ramanujan for a certain theta-type series"として纏められ、現在欧文学術雑誌に投稿中である。
次に、計画調書三頁に述べたLerchゼータ関数φ(λ,α,s)について、多重ゼータ関数の挙動解析により、本研究代表者は、第二パラメタが異なる場合の積平均∫^1_0φ(λ,α+χ,s)φ(-λ,β+χ,s^^￣)dx(α,β>0)及び異なる階数の導関数に対する積平均∫^1_0φ^<(h)>(λ,α+χ,s)φ^<(κ)>(-λ,α+χ,s^^￣)dχ(h,κ【greater than or equal】0)に対し、それぞれIms→±∞における漸近展開を証明した。結果は二編の論文"An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of Lerch zeta-functions II"及び"III"として纏められ、現在欧文学術雑誌に投稿準備中である。
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Research Products
(8 results)
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[Publications] M.Katsurada: "Rapidly convergent series representations for ζ(2n+1)and their X-analogue"Aeta Arith.. XC. 79-89 (1999)
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[Publications] M.Amou: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series"J.Nunber Theory. 77. 155-169 (1999)
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[Publications] M.Katsurada: "A weighted integral approach to the mean square of Dirichlet L-functions"in "Number Theory and Its Applications". Kluwer. 199-229 (1999)
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[Publications] M.Katsurada: "Rapidly convergent series representations of ζ(2n+1)and their X-analogue""Ko^∧kyu^∧,"R.I.M.S.. No.1091. 189-198 (1999)
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[Publications] M.Amou: "Arithmetical properties of the values of functions satisfying certain functional equations of Poincare""Seminar of Math.Sci." Keio Univ.. No.27. 111-122 (1999)
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[Publications] M.Amou: "On the values of certain q-hypergeometric series"Proc. Turku Symp. on Number Theory. de Gruyter(in press).
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[Publications] S.Kanemitsu: "On the Hurwitz -Lerch zeta-function"Aequationes Math.. (in press).
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[Publications] M.Katsurada: "Asymptotic expensions and explicit formulas for certain mean square of Hurwitz Zeta-function III"Compositio Math.. (to appear).
