イデアル類群と素数分布の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640046
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 吾郷 孝し 東京理科大学, 理工学部, 教授 (60112893)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 原 民夫 東京理科大学, 工学部, 助教授 (10120205) ; 小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (90178319) ; 庄司 俊明 東京理科大学, 理工学部, 教授 (40120191) ; 田中 隆一 東京理科大学, 理工学部, 講師 (10112898) ; 細尾 敏男 東京理科大学, 理工学部, 講師 (30130339)
• Keywords: イデアル類群 / スティケルベルガーイデアル / 類数と単数 / ベルヌイ数 / 正則・非正則素数 / ベルトランド仮説 / ゼータ関数 / 素数定理

Research Abstract

平成13年度の研究実績は次の通りです.
1.イデアル類群と類数について:本年度はStickelberger部分イデアルの基底の探索を行い,相対類数のある行列表現と新しい代数的意味付けを完成させることができた.また,実2次体の類数と基本単数に関するAnkeny-Artin-Chowla予想の研究も行った.これはあるベルヌイ数のp-整除性の問題に帰着されるが,いくつかの有益な特徴付けが得られたため,現在それらの条件を満たす素数の特性を研究中である.
2.素数分布について:前年度に引き続き,X^2+1型の素数,双子素数,Sophie Germain素数,Wilson素数,そして正則素数の無限性に関する問題を扱った。得られている数値データから推測すれば,それぞれの素数計量関数の漸近的性状に関するHardy-Littlewood予想及びSiegel予想が恐らく成立すると思われるが,誤差項の評価が極めて難しく,以前に得たいくつかの評価式を条件付きで僅かに改良したに留まった(一般Riemann予想と深く関わるため,決定的解決は非常に難しい).Wilson素数については合成モデュライに対してWilson商を定義し,既存理論をすべて包含する形で一般化することができた.他方,Brunの篩法は双子素数の様々な様相を浮上させ大きな成果をあげているが、それぞれの素数に最も有効であろうと思われる多重篩法を現在探索中である.

Research Products

• [Publications] 吾郷孝し: "Congruences involving Bernoulli numbers and Fermat-Euler quotients"(to appear in)Journal of Number Theory.
• [Publications] 吾郷孝し: "A survey on the relative class number of Cyclotomic fields"(to appear in)Acta Math.et Informatica.
• [Publications] 庄司俊明: "Green functions associated to Complex reflection groups"Journal of Algebra. 245. 650-694 (2001)
• [Publications] 小林隆夫: "The absolute definition of the phase-shift in potential scattering"Journal of Mathematical Physics. 42. 4031-4049 (2001)
• [Publications] 原民夫: "Multiplicative SK invariants on Z_n-manifolds with boundary"(to appear in)Rocky Mountain Journal of Mathematics.
• [Publications] 細尾敏男: "Compactification of a family of quartic del Pezzo surfaces"Expositiones Mathematicae. 19. 281-285 (2001)
• [Publications] Paulo Ribenboim著 吾郷孝し訳編: "素数の世界-その探索と発見-(第2版改訂)"共立出版(株). 248 (2001)