| Research Abstract |
虚数乗法を持たないQ上定義された楕円曲線Eとその判別式の素因子pを考える.Eに対応して,arithmeticな不連続群Γ⊂PGL_2(Q_p)とΓに関するweight2の保型形式ρを考えることができる.簡単のため,Γはtorsion freeであると仮定する.ΡをΓの元γ≠1に対応するp進Poincare級数として表すとき,pathを意図するもうひとつのΓの元δ≠1をとれば,L関数L(s,ρ,δ)が次のように定義される.ΔとγがΓ/[Γ,Γ」のなかでproportionalでなければ,L(s,ρ,δ)=Σ_<g∈〈δ〉＼Γ/〈γ〉>{χ(g・β)^<1-s>-χ(g・α)^<1-s>},またproportionalであれば,L(s,ρ,δ)=Σ_<1≠g∈〈δ〉＼Γ/〈γ〉>{χ(g・β)^<1-s>-χ(g・α)^<1-s>}.ここで,0と∞がδの固定点となるようにP^1の座標をとるものとし,αとβはγの固定点である.また,γの固定値の比q_δについて,適当なcharacterχ:Q^p_x/q^δ_Z→1+p^<1+[1/(p-1)>Z_pをとっておくものとする.すぐわかるのは,L(1,ρ,δ)=0,また,d/(ds)L(s,ρ,δ)|_<s=1>=Log_χ(〈γ|δ〉).ここでLog_χはd/(ds)χ(t)^s=Log_χ(t)χ(t)^sによって決まるものとし,〈|〉:Γ/[Γ,Γ]×Γ/[Γ,Γ]→Q^p_xはΓによって一意化されるMumford curveのJacobi多様体のp進周期に関するManin-Drinfeldのpairingである.このL(s,ρ,δ)についてBirchとSwinnerton-Dyerの予想の類似が成り立つかどうかを数値実験により調べることがこの研究の主題である.
最大の困難はpathを意図するδをどうとるかということである.一時はEのQ-rankが正のときについて調べていたが,それでは問題がかえって難しくなるので『Log_χ(〈γ|δ〉)=0⇔EのQ-rankが正』となるようなδを与えるrecipeを見つけることを目標としている.しかし,まだそのようなrecipeを見つけるには至っていないのが現状である.
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