リーマン面のモジュライ空間の位相幾何学

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640054
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 河澄 響矢 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (30214646)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 秋田 利之 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30279252) ; 皆川 宏之 山形大学, 教育学部, 助教授 (30241300) ; 森田 茂之 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70011674) ; 廣瀬 進 佐賀大学, 理工学部, 講師 (10264144) ; 笹原 泰 高知工科大学, 工学部, 講師 (80299370)
• Keywords: リーマン面 / モジュライ空間 / 森田・マニフォード類 / 写像類群 / マグナス展開 / ジョンソン準同型

Research Abstract

本年度代表者は、基点とその上のゼロでないベクトルをもつコンパクトリーマン面について、基点を除いてできるリーマン面の基本群のマグナス展開が、カノニカルに定まることを示した。これを調和的マグナス展開と呼ぶことにする。チェンおよびヘインによる一般論を用いると、相異なる2つの基点をもつリーマン面の基本群についてマグナス展開が得られ、調和的マグナス展開は理念的にはこれらの極限になっているが、素朴には極限は存在せず、反正則部分を含めるという実質的な修正および積分の収束に関する解析的な議論が必要になる。さらにまた、調和的マグナス展開の擬等角第一変分を具体的な有理型二次微分として求めた。この二次微分は複素解析的手法による写像類群とくにそのジョンソン準同型像の研究の重要な鍵となるであろう。
分担者秋田は、写像類群の有限部分群の奇数次の森田マンフオード類の2倍が、G一符号数の不変量であるという著しい結果を証明した。分担者皆川は、閉曲面から円周の向きを保つPL同相写像群への準同型全体の空間に新しい位相を導入し、この空間が各点の周りで無限次元であり、その上で離散的ゴドビヨン-ベイ不変量が連続であることを示した。分担者笠原は、種数2のジョーンズ表現の代数的性質について,主に摂動的展開を用いて研究した。分担者廣瀬は、4次元球面内に自明に埋め込まれた有向閉曲面の写像類群が、スピン写像類群と一致することを種数の制限なく示した。
詳細は、研究成果報告書(冊子体)において報告したい。

Research Products

• [Publications] N.Kawazumi: "Weierstrass ponist and Morita-Mumyord classes on byperelliptic mapping class groups"Topology and its appl.. (印刷中).
• [Publications] S.Morita: "Structive of the mapping class group and symplectic representa theory"L'Euseignencent Math.. (印刷中). (2002)
• [Publications] T.Akita: "Nilpoteucy and triviality of mad p Morita-Mumyord classes of mapping class groups of surfaces"Nagoya Math. J.. (印刷中).
• [Publications] Y.Kasahara: "An expansion of the Jones representation of genus 2 and the Torelli groups"Algebrari and Geometui Topology. 1. 39-55 (2001)
• [Publications] S.Hirose: "A complex curves and a presentation for the mapping class group of a surface"Osaka J, of Math. (印刷中).