2000 Fiscal Year Annual Research Report
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11640085
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| Research Institution | TOKYO METROPOLITAN UNIVERSITY |
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Principal Investigator |
横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40240197)
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| Keywords | 結び目 / 量子不変量 / 体積予想 |
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| Research Abstract |
この研究の目的は、結び目・三次元多様体論における諸問題を、量子不変量などの新しい武器を駆使して解決していくことにありましたが、実際に量子不変量の一つであるジョーンズ多項式の漸近値と、三次元球面における結び目の補空間の幾何構造の関係に注目し、いわゆる「結び目の体積予想」とその発展問題に取り組みました。
まず平成11年度の研究では、双曲的な結び目の補空間に対して、その四面体分割を具体的に構成することで、幾何構造を決定する方程式を書き下すと同時に、ジョーンズ多項式の積分近似における被積分関数の臨界方程式と比較し、両者が一致する事実を発見しました。さらに上述の被積分関数は、方程式の共通解が与える臨界点において、補空間の双曲体積とチャーン・サイモンズ不変量を与える事実をつきとめ、体積予想をほぼ解決できました。
これらの成果を受けて、平成12年度の研究では、上述の被積分関数に四面体分割から決まる剰余項を加えて得られる複素関数に注目し、その臨界方程式が、結び目のデーン手術で得られる閉三次元多様体族の幾何構造を決定する方程式と一致する事実を確かめると同時に、各臨界点では、ノイマン・ザギエによって提唱された、閉三次元多様体族の体積とチャーン・サイモンズ不変量を与える基本関数と一致する事実を発見しました。
最後に、閉三次元多様体の量子不変量は、量子6j-記号を使った量子重力理論的な構成もよく知られていますが、最近の研究で量子6j-記号の漸近値にも四面体の体積が現れることが実験的に確認されました。これらの成果を総合して、体積予想を一般の閉三次元多様体とその量子不変量に対して拡張できるという強い確信を得ており、今後の研究の展望がさらに開けたといえます。
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Research Products
(1 results)
