Deformation quantizationとその応用

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640095
• Research Institution: SCIENCE UNIVERSITY OF TOKYO
• Principal Investigator: 吉岡 朗 東京理科大学, 理学部, 助教授 (40200935)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宮崎 直哉 慶應義塾大学, 経済学部, 助教授 (50315826) ; 前田 吉昭 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40101076) ; 大森 英樹 東京理科大学, 理工学部, 教授 (20087018)
• Keywords: Deformation quantization / star product / noncommutative geometry / quantization / asymptotic analysis / symplectic geometry / Hamiltonian mechanics

Research Abstract

ワイル多様体とは、ワイル代数をファイバーに持つ、シンプレクティック多様体上の無限次元のワイル代数束であり、コンタクトワイル多様体とはコンタクト代数をファイバーに持つコンタクト代数束である.ワイル多様体とコンタクトワイル多様体の関係についての次のような知見を得た.
ワイル多様体の代数束としての貼り合わせの変換群をコンタクト代数の同形の群へと拡張できることがわかった.ワイル多様体のモディユライ空間は底多様体の第二コロモロジー環を係数とする形式的冪級数全体であること明らかになった.ワイル多様体の同形類に対応する第二コロモロジー類の元をポアンカレカルタン類と呼ぶが,これはチェックのコホモロジー環として得られる.これに対応して、ワイル微分同形がコンタクト微分同形の貼り合わせのシステムへと拡張され,したがってワイル多様体をその部分束としてふくむ、無限次元のコンタクト代数束が得られる.これより、すべてのワイル多様体はコンタクトワイル多様体への拡張を持つことが証明できた.一方、フェドソフにより、ワイル代数束上の接続,いわゆるフェドソフの接続を用いて,変形量子化が構成されることが知られている.ワイル多様体の局所自明化の生成元をうまく取り直すことができ、フェドソフの用いたワイル代数束とワイル多様体が同一のものであることが証明できた.またフェドソフ接続の曲率形式が変形量子化のモディユライ空間を与えることが彼により示されているが,曲率形式の与えるコホモロジーの元がワイル多様体のポアンカレカルタン類と一致することが証明できた.以上の議論はすべてコンタクトワイル多様体上の幾何学を用いて構成、証明が与えられ、これよりコンタクトワイル多様体上に曲率が自明ではない接続を与えることができた。また、これがフェドソフ接続の拡張になっていることが示せた.

Research Products

• [Publications] 大森英樹,前田吉昭,宮崎直哉,吉岡朗: "Deformation quantization of Frechet-Poisson algebras : Convergence of the Moyal product"The proceedings of the Coference Moshe Flato 1999,Kluwer Academic Publishers in the series Mathematical Physics Studies,. 2. 233-246 (2000)
• [Publications] 大森英樹,前田吉昭,宮崎直哉,吉岡朗: "Singular systems of exponential functions"Noncommutative differential geometry and its application to physics-proceedings of the Workshop at Shonan, June 1999. 171-188 (2001)
• [Publications] 大森英樹,前田吉昭,宮崎直哉,吉岡朗: "Anomalous quadratic exponentials in the star-products. Lie groups, geometric structures and differential equations-one hundred years after Sophus Lie (Japanese))."数理研講究録:ソーフィス・リー没後百年記念国際研究集会報告集. 1150. 128-132 (2000)
• [Publications] 大森英樹,前田吉昭,宮崎直哉,吉岡朗: "An Example of Convergent Star Product,"数理研講究録:Dynamical Systems and Differential Geometry 研究集会報告集. 1180. 141-165 (2000)
• [Publications] 吉岡朗: "Contact Weyl manifold over a symplectic manifold"Advanced Studies in Pure Mathematics : Lie Groups, Geometric Structures and Differential Equations. (2001)
• [Publications] 大森英樹: "Noncommtative world, and its geometrical picture"AMS translation of Sugaku expositions. (2001)
• [Publications] 前田吉昭: "Noncommutative Differential Geometry and its Application to Physics,"Kluwer academic publishers. 305 (2001)