ランダム媒質の中の拡散過程の研究

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640137
• Research Institution: Japan Women's University
• Principal Investigator: 田中 洋 日本女子大学, 理学部, 教授 (70011468)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 冨山 淳 日本女子大学, 理学部, 教授 (30006928) ; 峰村 勝弘 日本女子大学, 理学部, 教授 (20060684) ; 大枝 一男 日本女子大学, 理学部, 教授 (10060675) ; 鈴木 由紀 慶應義塾大学, 理工学部, 助手 (30286645) ; 河津 清 山口大学, 教育学部, 教授 (70037258)
• Keywords: ブラウン運動 / 拡散過程 / ランダム媒質 / ブラウンポテンシャル / レヴィ過程 / レヴィ測度 / 自己相似過程 / 極限分布

Research Abstract

(1)本研究で取り扱われたランダム媒質の中の拡散過程のクラスをより的確に表わすには,ランダムポテンシャルをもつ拡散過程と云った方がよい.
1^。.半直線[0,∞)上のブラウンポテンシャルをもつ反射壁拡散過程の極限的振る舞いについてはよく知られているが,このことに対して確率過程の収束の観点からの再検討を行った.この際,確率過程の収束としては最も弱いタイプである「有限次元分布系の収束」しか成立しないが,極限過程が時間的に非一様な自己相似レヴィ過程になることが証明された.また,そのレヴィ測度の具体的な形が求められた(研究発表の欄の第2の論文).
2^。.IR(-∞,∞)におけるランダムポテンシャルとして原点の左側ではブラウン運動,右側では恒等的に0としたものを考え,このランダムポテンシャルをもつIR上の拡散過程X(t)の極限的振る舞いについて研究した.従来よく研究されていたモデルの場合とは著しく異なった結果が得られた.とくにλ^<-1/2>X(λt)はλ→∞のとき確率1/2で反射壁ブラウン運動に収束し,残りの確率1/2では恒等的に0という確率過程に収束することがわかった.さらに0【less than or equal】s【less than or equal】tでのX(s)の最小値に関する極限定理も得られた.結果の一部分は1999年度日本数学会秋季総合分科会において発表(口頭)された.
(2)時間的非一様なマルコフ過程における従属操作はどのように考えればよいか,について新しい考えを提案した(研究発表の欄の第1の論文).この研究は,ランダム媒質が時間と共に変る場合の研究のための予備的考察の段階として,時間的非一様なマルコフ過程の構成問題について検討したものである.

Research Products

• [Publications] Masao Nagasawa and Hiroshi Tanaka: "Time dependent subordination and Markov processes with jumps"Seminaire de Probabilites. 34. to appear (2000)
• [Publications] Hiroshi Tanaka: "Some remarks to the limiting behavior of a reflecting diffusion process with a Brownian potential"Journal of Japan Women's University Faculty of Science. 8. to appear (2000)
• [Publications] Jun Tomiyama: "Structure of ideals and isomorphisms of C-crossed products by single homeomorphisms"Tokyo Journal of Mathematics. (to appear).