2000 Fiscal Year Annual Research Report
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11640185
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| Research Institution | SCIENCE UNIVERSITY OF TOKYO |
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Principal Investigator |
岡沢 登 東京理科大学, 理学部第一部, 教授 (80120179)
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| Keywords | 複素ギンツブルク・ランダウ方程式 / 初期値境界値問題 / 時間大域的可解性 / 非線形発展方程式 / 極大単調作用素 / 非線形半群 / 適正下半連続凸関数 / 劣微分作用素 |
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| Research Abstract |
通常の複素Ginzburg-Landau方程式およびその一般化について研究するためHilbert空間X上の適正下半連続凸関数〓,ψの劣微分作用素∂〓,∂ψを導入し,抽象的発展方程式の初期値問題
du/dt-(λ+iα)∂〓(u)+(κ+iβ)∂ψ(u)-γu=0,t>0;u(0)=u_0
を考えた.特に,X:=L^2(Ω),〓(u):=(1/p)‖∇u‖^p_<Lp>,u∈W^<1,p>_0(Ω);ψ(υ):=(1/q)‖υ‖^q_<Lq>,υ∈L^q(Ω)とおけば,∂ψ(u)=-Δ_pu:=-div(|∇u|^<p-2>∇u),u∈D(∂〓):={u∈W^<1,p>_0(Ω);Δ_pu∈L^2(Ω)},∂ψ(u)=|u|^<q-2>u,u∈D(∂ψ):=L^<2(q-1)>(Ω)(ここでΩ⊂R^Nは有界領域である)となって
(CGL)_p ∂u/∂t-(λ+iα)Δ_pu+(κ+iβ)|u|^<q-2>u-γu=0,t>0;u(0)=u_0
を得る.特に(CGL)_2が通常の複素Ginzburg-Landau方程式の初期値境界値問題である.ここでは簡単のためp【greater than or equal】2,q【greater than or equal】2とした.(CGL)_pの時間大域的可解性が複素係数λ+iα,κ+iβ(λ>0,κ>0)から決まる対(α/λ,β/κ)∈R^2と初期値によって次のように分類されることを明らかにした.まず|α|/λ【less than or equal】1/c_p:=2√<p-1>/(p-2)は常に仮定する(p=2のときこの条件は不要となる).
1.任意の(α/λ,β/κ)とu_0∈L^2(Ω)に対する弱解の存在(一意性は一般にはいえない).
2."(CGL)領域":={(x,y)∈R^2;xy【greater than or equal】0 or|xy|-1<(|x|+|y|)/c_q}に属する(α/λ,β/κ)とu_0∈W^<1,p>_0(Ω)∩L^q(Ω)に対する強解の存在(一意性は一般にはいえない).
3.|β|/κ【less than or equal】1/⊂_qとなる(α/λ,β/κ)とu_0∈L^2(Ω)に対する一意強解の存在.
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[Publications] N.Okazawa and T.Yokota: "Smoothing effect for generalized complex Ginzburg-Landau equations in unbounded domains"Discrete and Continuous Dynamical Systems. Added Volume. 280-288 (2001)
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[Publications] N.Okazawa and T.Yokota: "Monotonicity method for the complox Ginzburg-Landau equation, including smoothing effect"Journal of Nonlinear Analysis : Series A Theory and Methods. special issue. (2001)
