3次多項式写像族の力学系の研究(パラメータ空間の位相的構造について)

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640218
• Research Institution: Tokyo Polytechnic University
• Principal Investigator: 中根 静男 東京工芸大学, 工学部, 助教授 (50172359)
• Keywords: stretching ray / Boettcher vector / Fatou coordinates / Fatou vector

Research Abstract

実3次多項式写像族のstretching raysについて、Boettcher vectorが無理数の時は着地しないこと、従って、各rayの集積点集合は境界弧Per_1(1)上の区間になることを昨年示した。今年はMilnorの助言に従って、この集積点集合をBoettcher vector mapとrayのphaseによって特徴づけることに成功した。Boettcher vector mapはFatou coordinatesを定めれば決まるので、原理的には集積点集合を完全に決定できることになる。その帰結として、境界弧Per_1(1)のすべての点に少なくとも1本のstretching raysが集積することも示された。現在、論文を執筆中である。
複素パラメータ空間でのstretching raysの着地性についても若干の進展があった。もしstretching rayがparabolic componentの点に集積するならば、そのray上の力学系で、外周角0の外射線はある危点にぶつかることはWillumsenによって示されていたが、もう一つの危点もその外射線の逆像に含まれるだろうというのがWillumsenの予想であった。この予想がFatou coordinatesが存在するような領域を通るraysの場合は正しいことが示された。同様にparabolic component内の点に着地するならばその点のFatou vectorは実であることも示される。
Real biquadratic mapsの族に対しても同様の議論が可能であることをMilnorから示唆され、それを実行した。ただ1カ所だけ違うところがある。Boettcher vectorが有理数1/2のstretching rayは着地するのである。実3次多項式族の場合は有理数でも着地しないと予想している。
今年度は共同研究者の一人であるDierk Schleicherを招待して、反多項式写像族及び実3次多項式族のhyperbolic componentsの構造に関する論文の第1部を完成させて、International Journal Bifurcations and Chaosに投稿した。現在、hyperbolic componentsの境界の構造と分岐に関する第2部もかなり仕上がりつつある。