多元環の整数論

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11740012
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 山崎 愛一 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (10283590)
• Keywords: division algebra / 強近似定理 / 係数体の一般化

Research Abstract

Dedekind domain Rの商体K上のcentral division algebra Dについて、Eichler型の強近似定理を一般化することを従来からの目標にしている。係数体が一般のときは代数関数体の場合でも、SL_1(D)についてEichler cond.がみたされても強近似性が成り立たない例に気づいた。しかし、SL_1(D)の代わりに交換子群[D^X,D^X]を考えたら、Eichler型強近似定理の一般化はなお可能性がある。
Kが任意係数の代数関数体の場合でも、Eichler型強近似定理の逆、すなわち「強近似性⇒Eichler cond.」は一般に成立する。証明のアウトラインは、「Eichler cond.の否定⇒[D^X,D^X]は(イデール群の中で)離散的⇒強近似性の否定]となっている。Eichler型強近似定理が一般に成立するためには「この二つの⇒がどちらも逆も正しい」ことを要する。言い換えればどちらかでも反例が見つかれば、それは順定理の反例にもなる。
このように強近似定理の一般化は二つの部分に分けられて、それぞれが独立なconjectureであることが分かる。特に後半のformulationは、Dedekind domainの商体の場合にも一般化できる,問題をこのように整理できたにも今年度の進展である。
またnon-central単純性に基づく議論によって、三つの強近似性(a)〜(a")の同値性の証明に成功した。
(a)[D^X,D^X]は[D^X_A,D^X_A]の中でdense
(a')[D^X_A,D^X_A]はD^Xの閉包に含まれる。
(a'')[D^X_A,D^X_A]はR^X_AD^Xの閉包に含まれる。
(a''')[D^X_A,D^X_A]はR^X_AD^Xの閉包に含まれる。
以上の成果は論文の形で発表すべく原稿執筆中である。