測地線定理の精密化

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11740026
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 小山 信也 慶應義塾大学, 理工学部, 助教授 (50225596)
• Keywords: 保型関数 / L-関数 / リンデレーフ予想 / ゼータ関数 / 素測地線 / 量子カオス / ベッセル関数 / 分布定理

Research Abstract

本研究は(素)測地線定理の誤差項の精密化を目的としていた.これは,多様体の次元が2である場合にサルナック,ルオ,ルドニックらによりなされてきた研究の高次元化であり,まずは3次元の場合に誤差項の精密化を得ることが目標であった.
本研究において,3次元の数論的多様体で最も典型的なピカール多様体に関し,保型L関数の平均リンデレーフ予想を仮定した上で,誤差項の精密化を証明した.この結果は学術雑誌Forum Mathematicumに掲載受理された.(号数・頁数未定)
精密化の具体的な値を以下に述べる.これまで得られていた誤差項の指数は,1983年にサルナックによって得られた5/3が最善であった.本研究で得られた主定理によれば,これを11/7に改善できることがわかった.こうした改善が3次元以上の多様体について行われたのは初めてのことである.
次に,定理の前提とした平均リンデレーフ予想について述べる.リンデレーフ予想とは,L関数の臨界線上の値に関する不等式であるが,これはあらゆる数論的L関数が満たすと思われているリーマン予想からの一つの帰結であり,したがって,その成立の可能性は,リーマン予想と同等以上の確実性を持っている.リンデレーフ予想の証明は困難な未解決問題である一方で,いくつかのL関数について,それらの和の値を評価することにより,それらのL関数平均的にリンデレーフ予想を満たしていることは,大ふるいの方法などを用いて証明が可能であり,実際に2次元の場合に証明されている.これを平均リンデレーフ予想という.したがって,平均リンデレーフ予想とは,現代の数学で証明可能な範疇に属する現実的な仮定である.また,成立は,ほとんど疑いないと思われる.

Research Products

• [Publications] Shin-ya Koyama: "Selberg zeta functions of PGL and PSL"Developments in Math. 2. 253-261 (1999)
• [Publications] Shin-ya Koyama: "Prime geodesic theorem for arithmetic manifolds"Forum Mathematicum. (発表予定). (2000)