1999 Fiscal Year Annual Research Report
Wiener空間上の解析と関連する微分方程式の研究
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11740097
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
上木 直昌 京都大学, 大学院・人間・環境学研究科, 助教授 (80211069)
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| Keywords | 確率解析 / Wiener積分 / 熱方程式 / Pauli Hamiltonian / 準楕円性 / 無限次退化 / ^^-∂ーNeumann問題 / ^^-∂^bーLaplacian |
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| Research Abstract |
Wiener積分は様々な微分方程式の解を非常に示唆に富んだ形で表現する。本研究の目的はこの解のWiener積分表示の性質を調べることにより確率解析学や微分方程式論及び関連する様々な分野に対する知見を与えることである。本年はまずPauli Hamiltonianの熱核のFeynman-Kac-伊藤の公式による積分表示に確率解析的方法と関数解析的方法を適用することにより,この熱核の上界で(定数)×(電荷のParameter)×(Gauss核)の形のものを得た。これは従来からの知られていた電荷のparameterについて指数的に発散するものや空間変数と時間変数について多項式的にしか減衰しないものに比べて格段に良いものである。この評価を用いることにより,ある基本的な領域における∂_b^^--Laplacianと∂-Neumann問題に対する熱核の上界で空間変数と時間変数について十分速く指数的に減衰するものが得られ,更にこの評価により∂_b^^--Laplacianと∂-Neumann問題に対するC^∞-局所準楕円性が成り立つための十分条件をLevi形式が無限次退化をもつ場合を含めて十分弱めることが出来た。特に∂_b^^--Laplacianに対する無限次退化をもつ場合のC^∞-局所準楕円性は初めて示されたことと思われる。またPauli Hamiltonianの熱核の評価から∂_b^^-ーLaplacianと∂^^--Neumannの問題の熱核の評価を導出する方法を複素積分の理論を用いることにより簡略化した。しかしここで∂_b^^--Laplacianや∂ーNeumann問題を考えた領域は基本的なものの中でも制限されたものであり,この制限を弱める為にも今後Pauli Hamiltonianの熱核の評価をもっと一般の確率振動積分に拡張することが課題として残されている。
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[Publications] N.Ueki: "Asymptotic expansion of stochastic oscillatory integrals with rotation invariance"Ann.Inst,H.Poincare Probab.Statist,. 35. 417-457 (1999)
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[Publications] H.Matsumoto and N.Ueki: "Applications of the theory of the metaplectic representation to quadratic Hamiltonians on the two-dimensional Euclidean space"J.Math.Soc.Japan. 52・2(発売予定). 269-292 (2000)
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[Publications] N.Ueki: "Simple examples of Lifschitz tails in Gaussian random magnetic fields"Ann.H.Poincare. (発売予定).
