2000 Fiscal Year Annual Research Report
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11740105
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
WEISS G・S 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (30282817)
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| Keywords | 自由境界 / 正則性 / 燃焼理論 / 特異極限問題 / 勾配流 / Rectifiability / Pompeiu問題 / 単調性等式 |
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| Research Abstract |
平成12年度には、燃焼理論に応用される特異極限問題、Pompeiu問題に応用できる二相障害物問題および体積条件のついた最小化問題についての結果を得た。
1)炎の伝播のモデルとして使われた方程式
α_t2u_ε-Δu_ε=β_ε(u_ε),β_ε(s)=1/εβ(s/ε),β∈C^1_0([0,1]),β>0in(0,1)
の解u_ε_mがε_m〓0のとき、極限問題の、領域変分の意味での解に収束することを証明できた。なお、自由境界の非退化特異集合はrectifiableな集合であることも示せた。さらに、D.Jerisonとの共同研究で、2次元の定常問題の場合、極限は超関数の意味での解にもなることがわかった。帰結として、領域変分の意味での解という概念は、超関数の意味での解という概念より強い。
2)二相障害物問題Δu=fχ_Ω,u=∇u=0onΩ^cの解uの正則性に関して、(符号なしの)fがDini条件をみたせば、Ωの境界の各点において解が二次の増大があることを示せた。
3)二つの体積条件のついた自由境界問題
a)u【greater than or equal】0,Δu=0inΩ∩{u>0},|∇u|がΩ∩α{u>0}上定数であり, L^n(Ω∩{u>0})=c.
b)0【less than or equal】υ【less than or equal】1,Δυ=0inΩ∩{0<υ<1},|∇υ|がΩ∩α{υ>0}上定数であり,|∇υ|がΩ∩α{υ<1}上定数であり,L^n(Ω∩{υ=0})=c_1,L^n(Ω∩{υ=1})=c_2.に関して、数値解を求める新しいアプローチ、つまり曲面勾配流を提案した。
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[Publications] G.S.Weiss: "An obstacle-problem-like equation with two phases"Interfaces and Free Boundaries. 3. (2001)
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[Publications] G.S.Weiss: "A singular limit in Combustion theorly : identification of the limit"数理解析研究所講究録. (2000)
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[Publications] G.S.Weiss: "A gradient flow approach to a free boundary problem with volume constraint"数理解析研究所講究録. (2000)
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[Publications] G.S.Weiss: "A singular limit in combustion : fine properties of the free boundary"数理解析研究所講究録. (2001)
