物理数学に現れる偏微分方程式の数値解析

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11740115
• Research Institution: Josai University
• Principal Investigator: 溝畑 潔 城西大学, 理学部・数学科, 助教授 (70229722)
• Keywords: 物理数学 / 偏微分方程式 / 保存則 / オイラー方程式 / 数値解析 / 衝撃波 / 希薄波 / ウェーブレット

Research Abstract

物理数学に現れる偏微分方程式の代表例として保存則の方程式がある。この方程式の解析は非常に困難であり、解の存在や一意性などわからない事が多く、数値解析においてもまたしかりである。本研究では最初の一年はもっぱら理論解析を行い、優秀な計算機とソフトを購入してから二年目にこの理論解析をもとに数値計算を実行する事となっている。保存則の方程式の代表例としては圧縮性オイラー方程式があり、今回は主としてこの方程式の解析を行った。ラックスのポジティブスキームやTVDスキーム等を用いて解析を行った。色々試行錯誤の結果、衝撃波や希薄波を従来のこれらのスキームよりシャープにとらえるのにはウェーブレット理論を用いるのが良いと思われ、現在ウェーブレットの研究を行い二年目にヘビーな数値計算を行いいい結果を出す予定である。ウェーブレットの研究を行っている内に画像処理に興味を持ち、これの研究も行った。従来のウェーブレットには対称性が無く、画像処理等において問題となっていた。マルチウェーブレットは対称ではあるが、この場合スケーリング関数が複数のために、データ列の前処理が重要な問題となる。今研究では対称性と平均作用によるぼかしを少なくする新しい前処理を開発した。この前処理を用いると従来の方法よりも画像圧縮においていい結果がでており、現在さらに研究中である。勿論本来の目的である保存則の方程式の数値解析にもこのアイデアを可能であるならば応用して従来の方法よりも衝撃波や希薄波がシャープに捕らえられるスキームを開発して、更には多次元の場合に応用していく予定である。