K3曲面の数論

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11874002
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 森田 康夫 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20011653)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 伊藤 浩行 広島大学, 工学部, 助教授 (60232469) ; 石田 正典 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30124548) ; 佐武 一郎 東北大学, 名誉教授 (00133934) ; 佐藤 篤 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (30241516) ; 梶原 健 東北大学, 大学院・理学研究科, 助手 (00250663)
• Keywords: 代数多様体 / 有理点 / 高さ / K3曲面 / 不定方程式 / 代数曲面 / アーベル多様体

Research Abstract

森田康夫は佐武一郎と協力しながら、本年度も昨年度に引き続きK3-曲面の数論的性質を、K3-曲面に対応する久賀・佐武のアーベル多様体を手掛かりとして研究した。
具体的には、
1.2次元のアーベル多様体Bが体k-上定義される場合に、Morrisonが構成したBのべきからクンマー曲面B/{±id}の久賀・佐武のアーベル多様体へのisogenyが、どのような体上で定義されるかを詳しく調べた。
2.2次元のアーベル多様体Bが体k上定義される場合に、クンマー曲面B/{±id}の2次元のコホモロジーにおけるガロア群Gal(k^^-/k)の作用を調べ、B/{±id}の上の代数曲線の分布と性質を研究した。
3.2次元のアーベル多様体Bが体k上定義される場合に、特異点を持つクンマー曲面B/{±id}のk-有理点は、kの2次拡大体K上のBの有理点と対応することを使って、B/{±id}の上のk有理点の分布を研究した。
佐藤篤は、Bが体k上定義された楕円曲線の直積E×Eの場合に、BのE上のsectionsから生じるクンマー曲面B/{±id}上のk-有理点の高さに関する漸近分布を研究した。また、Weierstrass方程式で与えられた体k上定義された楕円曲線Eと、Eのk上定義された有限部分群Γが与えられたとき、EのΓによる商群E'=E/Γのk上の定義方程式を具体的に与えるのがVeluの公式であるが、佐藤篤はVeluの公式を使って代数体の不分岐巡回拡大の密度を研究した。
石田正典はトーリック多様体の性質を研究し、伊藤浩行は標数が正の体上の準楕円曲面の研究を行い、梶原健はアーベル曲面の4次元トーリック多様体への埋め込みを研究した。

Research Products

• [Publications] 森田康夫: "不定方程式を解く"数学の楽しみ. 17. 21-3 (2000)
• [Publications] 森田康夫: "コンピューターの安全を守る素数"AERAMook. 61. 54-57 (2000)
• [Publications] T.Kajiwara: "Abelian surfaces in toric 4-folds"数理解析研究所講究録. (出版予定). (2001)
• [Publications] 佐藤篤: "Veluの公式とその応用"仙台数論小セミナー2000および仙台数論小研究集会2000報告集. 1-24 (2001)
• [Publications] 石田正典: "代数幾何学の基礎"培風館. 232 (2000)