算術的代数解析の試み:多変数超幾何関数の整数論的研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11874003
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70201506) ; 加藤 和也 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90111450) ; 大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721) ; 寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50192654)
• Keywords: 球関数 / 離散系列表現 / 可積分系

Research Abstract

リー群の表現論に登場する超幾何可積分と代数幾何学に登場する超幾何可積分系の接点を探るのが当研究計画の目標であった。今年度はリー群の表現論に登場する2変数の可積分系の一例として調べた、物理学にも縁の深いSU(2,2)という共形群(conformal group)の離散系列表現の内、丁度真ん中のGelfand-Kirillov次元(五次元)をもつものの行列係数のA動径成分の明示公式に関する研究を完成させ印刷公表にこぎつけた。これは簡単にいうと変数分離型の可積分系に帰着でき、一つの変数についてはLaurent多項式に、もう一方の変数に関してはGaussの超幾何関数になることが分かった。離散系列表現の極小K-typeは一般に高い次元の表現になるので最後は数値に関する差分方程式系を解かねばならない。階数が2以上の群の離散系列表現の旧関数を具体的に調べた研究は極めて少ないので、今後のこの種の研究の参考になると信じる。さらにSU(2,2)の大きな離散系列表現の行列係数がAppellのF_2と関係していることは分かっている。この研究を完成させるのが当面の課題である。
翻って、代数幾何学的な可積分系の研究で、例えばF_2に関連するものは未だ見出せていない。むしろここではA型は自然に登場するので、リー群の世界でA型をもっと系統的に調べる必要があるかも知れないと思い、SL(3,R)の場合の準備的な計算はいろいろ行った。来年度以降の成果が期待できるものと信じている。

Research Products

• [Publications] 織田孝幸,早田孝博,古関春隆: "Matrixcoefficients of the middle discrete series of SU(2,2)"Journal of Funrctional Analysis. (印刷中).