Koecher-Maass級数と保型形式のリフティング

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11874005
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 伊吹山 知義 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60011722)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (70202017) ; 渡辺 隆夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30201198)
• Keywords: 保型形式 / ゼータ関数 / 整数論 / アイゼンシュタイン級数 / Koecher-Maass級数 / リフティング / 逆定理 / ディリクレ級数

Research Abstract

本年度は、本研究に関連する話題として、Duke-Imamoglu予想が池田保により証明されたことは特筆に値する。Duke-Imamoglu予想は研究代表者による Koecher-Maass級数が対応するようなリフティングが存在するであろうと言う予想と本質的には同等であろうと考えられるからである。研究代表者による上記の予想自身は、まだ完全には解かれていないが、これを解決する方針は、(当初研究計画で考えた方針とは若干異なるが)ある意味ではっきりしており、時間の問題であると考えるに至った。一方で、いくつか別種の開発されるべき課題が残っている。一つは当初のもくろみ通り、Weil型の逆定理により、GL(n)の保型形式のShimura型の対応を用いて証明を得るという方針で考えるとどうなるかと言うことである。これは概均質ベクトル空間のゼータ関数の明示公式を哲学的に説明することとも深い関係があり、きわめて重要な問題であるが未だ糸口を得るところまではいっていない。一方で、リフティングが1変数から偶数次のジーゲル保型形式に飛んでいるところを細分化して理解する方法を考慮中である。これについては、skew holomorphic Jacobi formによるリフティングとの関連がとりあえずの研究として考えられ、この研究を行ったN.Skoruppaを招聘し、共同研究を開始した。この手法で1変数から full modular groupに関する実解析的ジーゲル保型形式へのリフティングが存在するまでは研究により明らかにできた。この手法は実は半整数ウェイトのジーゲル保型形式への深い関係があり、研究代表者指導の大学院生、林田秀一による実験的なリフティングの存在証拠を説明することを込めて研究中である。

Research Products

• [Publications] Tomoyoshi Ibukiyama: "On differential operators on automorphic frums and invariant pluriharmonic polymials"Commentarii Math. Univ. St. Pauli. 48. 103-118 (1999)
• [Publications] 伊吹山知義: "例外Lie 環の分類と構成"第7回整数論サマースクール報告集. 212-241 (2000)
• [Publications] T.Ibukiyama and H.Katsueda: "On Square Moblus function for Half integrall matrices and its application"Journal of Number Theory. (to appear).
• [Publications] T.Watanabe: "Upper bounds of Hermits constants for orthogonal groups"Commentarii Math, Univ. St. Pauli. 48. 25-33 (1999)
• [Publications] T.Watanabe: "On an analog of Hermite's constant"Journal of Lie theory. (to appear).
• [Publications] M.Kaneko: "Traces of singular moduli and the Fourier coefficiencies of the eliptic modern fraction j (τ)"CRM Proc. Lecture Notes 19, Amer. Math. Soc.. 19. 173-176 (1999)