2011 Fiscal Year Annual Research Report
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11J01045
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
横山 啓太 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 特別研究員(PD)
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| Keywords | 逆数学 / 2階算術 / 超準解析学 / ランダム性 / Peano system |
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| Research Abstract |
本年度はS.Simpson氏との共同研究のため主たる研究拠点を米国・ペンシルバニア州立大学に移して研究を行った.主な研究テーマは以下の4つである.
1.超準解析学の逆数学
2.ランダムネスの相対化問題,および算術との関連性について
3.自然数の特徴付けに関するPeano systemの範疇性に関する逆数学研究
4.算術の諸体系の事故埋め込み定理による特徴付け
1では,主に超準解析学の諸命題を標準部分の存在公理や移行原理と呼ばれる超準解析の特徴的な公理と逆数学の手法で比較する研究を行った.結果の一部はベルギー・ゲント大学のSanders氏との共著論文にまとめた.また,東北大学の堀畑氏との共同研究でもこの研究を引き続き進めている.2は,米国・ペンシルバニア州立大学のSimpson氏,Hudelson氏,東北大学の樋口氏と部分的に共同で研究を行っており,数列のランダム性における相対化に関する定理を部分ランダム数列にまで拡張した.さらに,この拡張が公理化された算術体系における「圧縮可能性」の記述能力に関連することを示した.また,こうした特徴付けは,より一般的な形で公理化されたランダム性の概念に対しても一部拡張できることを示した.今後はこうした結果を踏まえながら,ランダム性の概念を公理化する際の適切な条件をより精密化することを目指している.3は,自然数を2階論理を用いて特徴付ける際に必要となる強さを特定するための研究である.Simpson氏と共同で研究を行っている.今回の研究では特にPeano systemの範疇性定理と呼ばれる定理を複数の視点から逆数学的に特徴付けることで,最低限の特徴付けに必要な公理系の強さを明確化することを目指した.現在,Simpson氏との共著論文に結果をまとめる作業を行っている.4では,自然数論を扱う1階および2階の諸体系を事故埋め込み定理と呼ばれる算術体系に特徴的な定理によって統一的に特徴付けることを目指しており,今後も引き続き研究を続けていく予定である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初計画していた研究が比較的順調に進展していることに加え,新たにS.Simpson氏との共同研究により新たな逆数学手法の可能性が得られ,特にPeano systemの範疇性定理の逆数学研究から数学の基礎付けへの逆数学手法の適用の見込みが得られたことは重要な進展であった.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までのところ,研究は非常に順調に進展しており,今後も研究計画に沿う形で進めて行ければよいと考えている,今年度の研究の中で新たに得られた逆数学研究から自然数体系の特徴付けを行う数学の基礎付けへの新たな試みについても次年度以降の研究に随時反映させていく予定である.また,得られた結果を順次論文にとりまとめる等,今年度の成果で未発表のものを精査して公表していくことも次年度の重要な課題である.
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