2012 Fiscal Year Annual Research Report
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11J02233
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
上山 健太 静岡大学, 創造科学技術大学院, 特別研究員(DC1)
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / AS-Gorenstein algebra / 次数付き孤立特異点 / Cohen-Macaulay加群 / Serre関手 |
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| Research Abstract |
本研究課題は非可換代数幾何学や表現論に現れる三角圏を研究することを目的としている.本年度はAS-Gorenstein孤立特異点というある種の"非可換次数付きGorenstein孤立特異点"の研究を行った.可換環論や整環の表現論において,Gorenstein孤立特異点上の極大Cohen-Macaulay加群やその安定圏は非常に重要な役割を担っている.しかしそれらの孤立特異点の定義には素イデアルによる局所化が使われており,より一般の環に対してはうまく定義できない.
そこで本研究では非可換次数付き孤立特異点を局所化を使わず,代わりに非可換射影スキームの言葉で定義し,その定義の下で「(可換)Gorenstein孤立特異点上の極大Cohen-Macaulay加群の安定圏はSerre関手を持つ」という重要な結果の非可換次数付き類似を与えた.さらに,この定理を利用してcluster tilting加群の存在性についての結果も得ている.Clustertiltingの概念は高次元Auslander-Reiten理論の観点から伊山氏によって導入されたもので,整環の表現論で最近注目されている.本研究では伊山氏と高橋氏によって示されていた「d次元(可換)次数付きGorenstein孤立商特異点は(d-1)-cluster tilting加群を持つ」という結果の部分的な非可換拡張を証明し,これによってcluster tilting加群を持つ非整環の例をたくさん得ることに成功した.
これら結果を記した論文,「Graded maximal Cohen-Macaulay modules over noncommutative graded Gorenstein isolated singularities」はJournal of Algebraに掲載された.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までに,AS-Gorenstein algebraを次数付き加群の導来圏とGorenstein次元も用いて特徴付けることに成功していた.本年度はAS-Gorenstein孤立特異点上の次数付き極大Cohen-Macaulay加群やその安定圏を表現論的手法で研究し,成果を上げた.これらの圏は有限次元代数の有界導来圏など他の三角圏と密接に関わっていることも分かっており,研究は順調に進展している.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き非可換代数幾何学や表現論に現れる三角圏,特にAS-Gorenstein algebra上次数付き極大Cohen-Macaulay加群の安定圏やそれに関連する有限次元代数の有界導来圏の研究に取り組む.AS-Gorenstein algebraがCohen-Macaulay有限表現型のとき次数付き孤立特異点になることが分かっているので,Cohen-Macaulay有限表現型のAS-Gorenstein algebra上次数付き極大Cohen-Macaulay加群の安定圏がどのような三角圏と同値になるかを考察する.2次元AS-regular algebraの有限群を作用による不変式環によってCohen-Macaulay有限表現型のAS-Gorenstein algebraが得られるのでこの場合を参考にしながら問題の解決を図る.
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