GイデアルとRees代数の不変式環

2013 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11J03919
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 大溪 正浩 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
• Keywords: 2項式辺イデアル / Hilbert級数 / 射影分解

Research Abstract

本年度は2項式辺イデアルのホモロジー代数的性質について研究を行った。あるグラフが与えられたとき、その各辺に対応する2項式全体で生成されるイデアルをそのグラフの2項式辺イデアルという。このイデアルの研究はHerzogと日比孝之を中心とする研究グループと大渓によって独立に開始され、現在活発に研究が進められている。
具体的には、2項式辺イデアルの射影分解とヒルベルト級数について、元となったグラフの用語による記述を目標とした。射影分解はイデアルの生成系の間の関係を解き明かすもので、グラフの用語による記述は2項式辺イデアルのグラフ理論の相互作用をより高めることにつながる。
昨年度の大渓自身、および他の研究者による研究によって、基本的ないくつかのグラフの族に対してこれらはほぼ完成している。今年度はこれを踏まえて、複雑なグラフをより簡単なグラフ(の組)に帰着するための方法について考察した。具体的には次の通りである。
(1)ある頂点を除去したグラフとの関係について
(2)部分クリークを1点に縮約したグラフとの関係について
これらを繰り返すことで、全てのグラフは理論上は既知の基本的なグラフ(木、多角形および完全グラフ)に帰着することが可能である。
(1)(2)ともに部分的な結果が得られたが、今後引き続き研究を続ける必要がある。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

交付申請書に記載した研究テーマとは異なる研究を行ったため、記載したテーマの研究については遅れていると言わざるを得ない。

Strategy for Future Research Activity

研究テーマについては、より一般の場合に関する研究を進める必要があると思われる。時間的な制約によって今年度中に十分な成果を挙げることはできなかったが、引き続き研究を進める。