2011 Fiscal Year Annual Research Report
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11J06949
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
前田 瞬 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 特別研究員(DC1) (00709644)
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| Keywords | k-調和写像 / 2-調和写像 / Chen予想 |
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| Research Abstract |
1年目の研究課題は「k-調和曲線の研究」および、「第二基本形式の研究」であった。
k-調和曲線の研究はtargetをユークリッド空間としたk-調和曲線の研究を行った。T<kに対して、t-調和ならばk-調和であることは定義より自明であるが、逆は必ずしも真ではない。私はk-調和ならば調和か?という問題に対し研究を行い、曲線が等長であるときに肯定的な解決を得た。これは3年目の研究課題であるB.Y.Chen予想を一般化した問題の肯定的解決となっている。
第二変分公式においては3-調和に対してindex, nullityの基礎概念を導入し、いくつかの結果を得、現在投稿中である。
2年目の研究課題であった「2次元単位球面の積多様体への2-調和写像の研究」にも着手した。
この研究は2次元複素射影空間への2-調和写像の存在を研究するためのものであった。私は浦川教授との共同研究により、さらに一般のcomplex space formsへのある条件を仮定した等長な2-調和はめ込みの分類定理を得た。
現在は3年目の研究課題である「ユークリッド空間への2-調和部分多様体は極小である。」というB.Y.Chen予想の研究を行っている。
私は芥川教授との共同研究により、properという条件のみを仮定したもとで肯定的解決を得た。更に単独の研究で、この研究をbiminimalという、より一般の条件に拡張した。これらの研究からChen予想は肯定的解決が見込まれるが、反例の可能性も考慮しながら現在研究を継続中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
1年目、2年目で予定していた研究に対し1年目でおおむね結果を出すことができた。また、3年目に予定しているChen予想への研究も進んでおり、部分的ではあるが解決することができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は3年目に行う予定であるChen予想解決へ向け研究を行う。また、この予想は曲率において一般化されており、一般化されたChen予想に対しても研究を行う予定である。まずは、Chen予想に対して用いた手法を応用することから研究を行う。また、反例の可能性も考慮し、解析的な方面からの研究も行う。
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